vol.7 数列・漸化式のこたえ
演習問題1.1
(1) 最初の項，すなわち初項が4です．そして，各項の差は， \[ 7-4=3,\quad 10-7=3,\quad 13-10=3,\ \cdots \] ですから，公差は3です．故に， \[初項4，公差3の等差数列\ \cdots(答) \]
(2) 初項は16です．各項の差は， \[ 11-16=-5,\quad 11-6=-5,\quad 1-6=-5,\quad\ \cdots \] よって， \[ 初項16，公差-5の等差数列\ \cdots(答) \]
演習問題1.2
(1) 初項は4です．そして， \[8=4\times2,\quad 16=8\times2,\quad 32=16\times2,\ \cdots \] ですから，公比は2です．故に， \[初項4，公比2の等比数列\ \cdots(答) \]
(2) 初項は16です．そして， \[ 8=16\times\frac{1}{2},\quad 4=8\times\frac{1}{2},\quad 2=4\times\frac{1}{2},\ \cdots \] よって， \[初項16，公比\frac{1}{2}の等比数列\ \cdots(答) \]
演習問題1.3
(1) 差をとってみると， \[\begin{array}{ccccccccccccc} 2&&2&&5&&11&&20&&32&&\cdots\\ &\smile&&\smile&&\smile&&\smile&&\smile&&\\ &0&&3&&6&&9&&12&&\cdots& \end{array}\] となっていますから， \[階差数列が，初項0，公差3の等差数列をなす．\ \cdots(答) \]
(2) 差をとってみると， \[\begin{array}{ccccccccccccc} 1&&2&&6&&22&&86&&342&&\cdots\\ &\smile&&\smile&&\smile&&\smile&&\smile&&\\ &1&&4&&16&&64&&256&&\cdots& \end{array}\] よって， \[階差数列が，初項1，公比4の等比数列をなす．\ \cdots(答) \]
演習問題2.1
(1) まず，初項から第4項までの和は，足し合わせる数が4つで，初項と末項の和が，$2+14=16$ですから， \[\begin{align*} 2+6+10+14 &= \frac{4(2+14)}{2}\\ &= 32\ \cdots(\mbox{答}) \end{align*}\] 次に，第2項から第5項までの和は，同じく足し合わせる数が4つで，初項(この場合，6から始まる数列と考えればよいわけです)が6，末項が18なので， \[\begin{align*} 6+10+14+18 &= \frac{4(6+18)}{2}\\ &= 48\ \cdots(\mbox{答}) \end{align*}\]
(2) 初項から第4項までの和については，足し合わせる数が4つで，初項と末項の和が，$4+7=11$ですから， \[\begin{align*} 4+5+6+7 &= \frac{4(4+7)}{2}\\ &= 22\ \cdots(\mbox{答}) \end{align*}\] 次に，第2項から第5項までの和は，同じく足し合わせる数が4つで，初項(この場合，5から始まるような新しい数列と考えればよいわけです)が5，末項が8なので， \[\begin{align*} 5+6+7+8 &= \frac{4(5+8)}{2}\\ &= 26\ \cdots(\mbox{答}) \end{align*}\]
演習問題2.2
初項から第4項までの和については，足し合わせる数が4つで，初項2，公比3の等比数列ですから， \[\begin{align*} 2+6+18+54 &= \frac{2(3^4-1)}{3-1}\\ &= \frac{2(81-1)}{2}\\ &= 80\ \cdots(\mbox{答}) \end{align*}\] 次に，第2項から第5項までの和は，同じく足し合わせる数が4つです．この場合， \[ 6,\ 18,\ 54,\ 162,\ 486,\ \cdots \] というような新しい数列だと考えればよいわけですから， \[\begin{align*} 6+18+54+162 &= \frac{6(3^4-1)}{3-1}\\ &= \frac{6(81-1)}{2}\\ &= 240\ \cdots(\mbox{答}) \end{align*}\]
演習問題3.1
(1) これは，初項5，公差5の等差数列ですから，一般項の式$\,a_n=a_1+(n-1)d\,$に代入して， \[\begin{align*} a_n &= 5+(n-1)\times5\\ &= 5n\ \cdots(\mbox{答}) \end{align*}\] また，$a_6\,$は，一般項に$\,n=6\,$を代入して， \[ a_6 = 5\times6=30\ \cdots(答) \]
(2) これは，初項2，公差4の等差数列ですから， \[\begin{align*} a_n &= 2+(n-1)\times4\\ &= 4n-2\ \cdots(\mbox{答}) \end{align*}\] また，$a_6\,$は，一般項に$\,n=6\,$を代入して， \[ a_6 = 4\times6-2=22\ \cdots(答) \]
演習問題3.2
(1) これは，初項2，公比4の等比数列ですから，一般項の式$\,a_n=a_1\cdot r^{n-1}\,$に代入して， \[ a_n = 2\cdot4^{n-1}\ \cdots(答) \] また，$a_6\,$は，一般項に$\,n=6\,$を代入して， \[\begin{align*} a_6 &= 2\cdot4^{6-1}\\ &= 2\cdot 4^5\\ &= 2\times1024\\ &= 2048\ \cdots(\mbox{答}) \end{align*}\]
(2) これは，初項3，公比5の等比数列ですから， \[ a_n = 3\cdot5^{n-1}\ \cdots(答) \] また，$a_6\,$は，一般項に$\,n=6\,$を代入して， \[\begin{align*} a_6 &= 3\cdot5^{6-1}\\ &= 3\cdot 5^5\\ &= 3\times3125\\ &= 9375\ \cdots(\mbox{答}) \end{align*}\]
演習問題4
(1) 漸化式に，$n=2\,$から順に代入して求めていきます． \[\begin{align*} n=2のとき，&{}\ a_2=a_1+4=2+4=6\\ n=3のとき，&{}\ a_3=a_2+4=6+4=10\\ n=4のとき，&{}\ a_4=a_3+4=10+4=14\\ n=5のとき，&{}\ a_5=a_4+4=14+4=18\\ &\vdots \end{align*}\] 故に， \[2,\ 6,\ 10,\ 14,\ 18,\ \cdots\] となりますから
(2) 与えられた漸化式を，$\displaystyle a_n=3a_{n-1}\,$と変形しておいて，(1)と同様に漸化式に，$n=2\,$から順に代入します． \[\begin{align*} n=2のとき，&{}\ a_2=3\times a_1=3\times2=6\\ n=3のとき，&{}\ a_3=3\times a_2=3\times6=18\\ n=4のとき，&{}\ a_4=3\times a_3=3\times18=54\\ n=5のとき，&{}\ a_5=3\times a_4=3\times54=162\\ &\vdots \end{align*}\] 故に， \[2,\ 6,\ 18,\ 54,\ 162,\ \cdots \] となりますから