vol.4 有理数・無理数のこたえ

演習問題1

(1)　小数を含む掛け算は，①まず小数点がないものとみなして普通に掛け算をします．そのあと，②2つの数の小数点が一番右から何番目の位の前にあるかを数え，その和を$k$とすると，③計算した結果の一番右から$k$番目の位の前に小数点をつけておけばよいことになります．

手順①　まずは小数点がないものとみなして普通に計算． $$36 \times 4 = 144$$

手順②　2数の小数点の位置を調べる． $$\begin{gather*} 3.6 \quad\to\quad 右から1番目の位の前にある．\\ 0.4 \quad\to\quad 右から1番目の位の前にある．\\ 故に，1+1=2　(この値をkとする．) \end{gather*}$$

手順③　①で求めた結果の右から$k$番目の位の前に小数点をつける．
　　　　→ 一番右から2番目の位の前に小数点をつけると， $$1.44\ \cdots(\mbox{答})$$

(2)　小数を含む割り算は，①割る数が整数になるよう2数に$10,\ 100,\ 1000\ \cdots$ などを掛け，②普通に割り算を行います．このとき小数点の位置は割られる数に合わせておきます．

手順①　割る数が整数になるよう2数に$10,\ 100,\ 1000\ \cdots$ などを掛ける．
　　　　→ 割る数5.1を10倍すれば整数になるから，7.242と5.1に10を掛けて， $$\begin{gather*} 7.242 \quad\to\quad 72.42\\ 5.1 \quad\to\quad 51 \end{gather*}$$ 　　　　故に，$72.42 \div 51$を計算すればよい．

補足　$7.242 \div 5.1 = 72.42 \div 51$であることは分数で考えるとわかりやすいです． $$\begin{align*} 7.242 \div 5.1 &= \frac{7.242}{5.1}\\ &= \frac{7.242 \times 10}{5.1 \times 10}\\ &= \frac{72.42}{51} \end{align*}$$

手順②　普通に割り算する． $$\begin{gather*} \hspace{5mm}\underline{\quad1.42}\\ 51\,)\ 72.42\\ \hspace{3mm}\underline{51}\\ \hspace{5mm}21\,4\\ \hspace{5mm}\underline{20\,4}\\ \hspace{10mm}1\,02\\ \hspace{10mm}\underline{1\,02}\\ \hspace{15mm}0 \end{gather*}$$ よって， $$1.42\ \cdots(\mbox{答})$$

演習問題2

(1) $$\begin{align*} 5\sqrt{2}\times3\sqrt{2} &= (5\times3)\times(\sqrt{2}\times\sqrt{2})\\ &= 15 \times 2\\ &= 30 \ \cdots(\mbox{答}) \end{align*}$$

(2) $$\begin{align*} 3\sqrt{5}\times4\sqrt{15} &= (3\times4)\times(\sqrt{5}\times\sqrt{5})\times\sqrt{3}\\ &= 12\times5\times\sqrt{3}\\ &= 60\sqrt{3} \ \cdots(\mbox{答}) \end{align*}$$

(3) $$\begin{align*} 24\sqrt{6}\div8\sqrt{3} &= \frac{24\sqrt{6}}{8\sqrt{3}}\\ &= \frac{24}{8}\cdot\sqrt{\frac{6}{3}}\\ &= 3\sqrt{2} \ \cdots(\mbox{答}) \end{align*}$$

(4) $$\begin{align*} 2\sqrt{14}\div3\sqrt{2} &= \frac{2\sqrt{14}}{3\sqrt{2}}\\ &= \frac{2}{3}\cdot\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{2}}\\ &= \frac{2}{3}\sqrt{\frac{14}{2}}\\ &= \frac{2\sqrt{7}}{3} \ \cdots(\mbox{答}) \end{align*}$$

(5) $$\begin{align*} \sqrt{3}(2+\sqrt{2}) &= \sqrt{3}\times2+\sqrt{3}\times\sqrt{2}\\ &= 2\sqrt{3}+\sqrt{6} \ \cdots(\mbox{答}) \end{align*}$$ (6) $$\begin{align*} 3\sqrt{2}(\sqrt{2}-2\sqrt{6}) &= 3\sqrt{2}\times\sqrt{2}-3\sqrt{2}\times2\sqrt{6}\\ &= 3\cdot (\sqrt 2\cdot\sqrt 2)-3\sqrt 2\times 2\cdot (\sqrt 2\cdot\sqrt 3)\\ &= 3\times2-3\cdot2\cdot(\sqrt 2\cdot\sqrt 2)\cdot \sqrt{3}\\ &= 6-12\sqrt{3} \ \cdots(\mbox{答}) \end{align*}$$

演習問題3

(1) $$\begin{align*} \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} &= \frac{\sqrt{3}\times\sqrt{2}}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}\\ &= \frac{\sqrt{6}}{2} \ \cdots(答) \end{align*}$$

(2) $$\begin{align*} \frac{9}{\sqrt{3}} &= \frac{9\times\sqrt{3}}{\sqrt{3}\times\sqrt{3}}\\ &= \frac{9\sqrt{3}}{3}\\ &= 3\sqrt{3}\ \cdots(答) \end{align*}$$

(3) $$\begin{align*} \frac{4}{3+\sqrt{5}} &= \frac{4\times(3-\sqrt{5})}{(3+\sqrt{5})\times(3-\sqrt{5})}\\ &= \frac{4(3-\sqrt{5})}{3^2-(\,\sqrt{5}\,)^2}\\ &= \frac{4(3-\sqrt{5})}{9-5}\\ &= \frac{4(3-\sqrt{5})}{4}\\ &= 3-\sqrt{5}\ \cdots(答) \end{align*}$$

(4) $$\begin{align*} \frac{-5}{2-\sqrt{6}} &= \frac{-5\times(2+\sqrt{6})}{(2-\sqrt{6})\times(2+\sqrt{6})}\\ &= \frac{-5(2+\sqrt{6})}{2^2-(\,\sqrt{6}\,)^2}\\ &= \frac{-5(2+\sqrt{6})}{4-6}\\ &= \frac{-5(2+\sqrt{6})}{-2}\\ &= \frac{10+5\sqrt{6}}2\ \cdots(答) \end{align*}$$