vol.2 連立方程式・不等式の答え

演習問題1

(1)

$$\begin{align*} 4x+\frac{2}{3} &= 6\\ \therefore\ 4x &= \frac{16}{3}\\ \therefore\ x &= \frac{4}{3}\ \cdots(答) \end{align*}$$

(2)　左辺と右辺を入れ換えて

$$\begin{align*} 2+11x &= 123\\ \therefore\ 11x &= 121\\ \therefore\ x &= 11\ \cdots(答) \end{align*}$$

演習問題2

　いずれも最初の式を①，次の式を②とします．

(1)　例えば加減法で$x$を消去する方針でいくならば，

$$\begin{array}{cr} {} & 6x + 9y = 24 \quad\cdots ① \times 3\\ – & \underline{)\quad 6x + 4y = 14} \quad\cdots ② \times 2\\ {} & 0 + 5y = 10 \hspace{23mm} \end{array}$$ $$\therefore\ y = 2$$

　$y=2$を①に代入して

$$\begin{align*} 2x+ 3 \times 2 &= 8\\ \therefore\ 2x &= 2\\ \therefore\ x &= 1 \end{align*}$$

　よって

$(x,y)=(1,2)\ \cdots$(答)

(2)　例えば代入法で$x$を消去する方針でいくならば，②より

$$x=320-y$$

　これを①に代入して

$$\begin{align*} 3(320-y) &= 5y\\ \therefore\ 960-3y &= 5y\\ \therefore\ 960 &= 8y\\ \therefore\ y &= 120 \end{align*}$$

　②より

$$\begin{align*} x+120 &= 320\\ \therefore\ x &= 200 \end{align*}$$

　よって

$(x,y)=(200,120)\ \cdots$(答)

演習問題3

　いずれも式を上から順に，①，②，③とします．

(1)　$y$が消去しやすそうなので$y$を消去していきましょう． $$\begin{gather*} ① – ②より，\quad -2x + 5z = 1 \quad\cdots④\\ ② \times 2 + ③より，\quad 8x + z = 17 \quad\cdots⑤ \end{gather*}$$ この2式より $x$ を消去する． $$\begin{array}{ll} &-8x+20z=4\ \ \ \cdots ④ \times 4\\ – &\underline{)\ \,8x+\ \ \ \ z =17} \ \cdots ⑤\\ &\ \ \ \ \ 0+21z=21 \end{array}$$ $$\therefore\ z = 1$$ $z=1$を⑤に代入して $$\begin{align*} 8x+ 1 &= 17\\ \therefore\ 8x &= 16\\ \therefore\ x &= 2 \end{align*}$$ さらに$x=2,\,z=1$を①に代入して $$\begin{align*} 2+2y+3\times1 &= 11\\ \therefore\ y &= 3 \end{align*}$$ 以上により $$(x,y,z)=(2,3,1)\ \cdots(答)$$

(2)　左辺にある文字をみてみると，どれも消去しやすさは同じなので，好きな文字から消去していって構いません．しかし左辺がとてもきれいな形をしていますから，ここではちょっとテクニカルな(しかし易しい)方法で解答しておきます．
①～③の辺々ごとごっそり加えると $$\begin{align*} 2(x+y+z) &= 24\\ \therefore\ x+y+z &= 12 \end{align*}$$ よってこの式から①を引くと $$\begin{array}{ll} &\ \ x+y+z=12\\ – &\underline{)\ x+y\ \ \ \ \ \ =6 }\ \ \cdots ①\\ &\ \ \ 0+0+z=6 \end{array}$$ 残りも同様に，$x+y+z=12$の式から引くことで，$y,x$と順に求まり $$(x,y,z) = (2,4,6)\ \cdots(答)$$

演習問題4

(1) $$\begin{align*} \frac{4}{5}x+3 &> 1\\ \therefore\ \frac{4}{5}x &> -2\\ \therefore\ x &> -2 \times \frac{5}{4}\\ \therefore\ x &> -\frac{5}{2}\ \cdots(答) \end{align*}$$

(2) $$\begin{align*} 12 &\geqq -7x-9\\ \therefore\ 7x &\geqq -21\\ \therefore\ x &\geqq -3\ \cdots(答) \end{align*}$$