演習問題1
$x = 1, 2, 3, 6, 9, 18$の6通り…(答)
実は $x$ は全て18の約数です．当たり前ですね．よって約数を何個持つかさえわかればいいわけですから，これは計算で求めることができます．
18を素数(自分自身と1以外に約数をもたない数のことをいいます．2,3,5,7,11,…などの数です．1は素数に含まないので注意して下さい．)の積の形に分解(素因数分解)すると
[18 = 2^1 \times 3^2 ]
よって，18の約数は，素因数2を何個使うかで0個か1個の2通り．この各々に対して，素因数3を何個使うかで0個か1個か2個の3通り．故に，18は$2 \times 3 = 6$個の約数を持ちます．
以上を踏まえると，例えば同じ問題設定で
\[ \frac{64800}{x} \]
の場合，
\[ 64800 = 2^5 \times 3^4 \times 5^2 \]
ですから，64800が持つ約数の個数は
\[\begin{align} (5+1) \times (4+1) \times (2+1) &= 6\times5\times3\\[5pt] &= 90(\mbox{個}) \end{align}\]
よって答えは90通りです．
演習問題2
(1) $\dfrac{2}{3} \div \dfrac{1}{5} = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{5}{1} = \dfrac{2 \times 5}{3} = \dfrac{10}{3}\ \cdots$(答)
(2) $\dfrac{2}{3} \div 5 = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{5} = \dfrac{2}{3 \times 5} = \dfrac{2}{15}\ \cdots$(答)
演習問題3
(1)
\[\begin{align*} \frac{\frac{5}{2}}{\frac{15}{4}} &= \frac{5}{2} \div \frac{15}{4}\\ &= \frac{5}{2} \times \frac{4}{15}\\ &= \frac{5 \times 4}{2 \times 15}\\ &= \frac{2}{3}\ \cdots(\mbox{答}) \end{align*}\]
(2)
\[\begin{align*} \frac{2}{1+\frac{1}{3}} &= \frac{2}{\frac{3+1}{3}}\\ &= \frac{2}{\frac{4}{3}} \\ &= 2 \div \frac{4}{3}\\ &= 2 \times \frac{3}{4}\\ &= \frac{2 \times 3}{4}\\ &= \frac{3}{2}\ \cdots({答})\\ \end{align*}\]
演習問題4
(1) $75 \div 13 = 5 \ldots 10$．
よって，$75 = 13 \times 5 +10$．
故に
\[\begin{align*} \frac{75}{13} &= \frac{13 \times 5 +10}{13}\\ &= \frac{13 \times 5}{13} + \frac{10}{13}\\ &= 5 + \frac{10}{13} \end{align*}\]
「$+$」の記号を取って
$5\dfrac{10}{13}\ \cdots$ (答)
(2)
\[\begin{align*} 4\frac{2}{11} &= 4 + \frac{2}{11}\\ &= \frac{4\times11}{11} + \frac{2}{11}\\ &= \frac{44 + 2}{11}\\ &= \frac{46}{11}\ \cdots (\mbox{答}) \end{align*}\]