5. 位置ベクトル(ノート)
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数学B　第1章　ベクトル

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5.　位置ベクトル

5.1　位置ベクトルとは？

　平面上で1点Oを固定する．平面上の任意の点Pの位置は， $$\overrightarrow{\mathstrut p}=\overrightarrow{\mathstrut\rm OP}$$ というベクトルで決まる．
　このとき，$\overrightarrow{\mathstrut p}$ を点Oに関するPの位置ベクトルといい，位置ベクトルが $\overrightarrow{\mathstrut p}$ である点Pを ${\rm P}(\overrightarrow{\mathstrut p})$ で表す．

例

5.2　分点の位置ベクトル

内分点

　線分ABを $m:n$ に内分する点Pの位置ベクトル $\overrightarrow{\mathstrut p}$ は， $$\begin{align*} \overrightarrow{\mathstrut\rm OP}&=\overrightarrow{\mathstrut\rm OA}+\overrightarrow{\mathstrut\rm AP}\\[5pt] &=\overrightarrow{\mathstrut\rm OA}+\frac m{m+n}\overrightarrow{\mathstrut\rm AB}\\[5pt] &=\overrightarrow{\mathstrut\rm OA}+\frac m{m+n}(\overrightarrow{\mathstrut\rm OB}-\overrightarrow{\mathstrut\rm OA})\\[5pt] &=\frac{n\overrightarrow{\mathstrut\rm OA}+m\overrightarrow{\mathstrut\rm OB}}{m+n} \end{align*}$$ $$\therefore \overrightarrow{\mathstrut p}=\frac{n\overrightarrow{\mathstrut a}+m\overrightarrow{\mathstrut b}}{m+n}$$

外分点

　線分ABを $m:n$ に外分する点Qの位置ベクトルを $\overrightarrow{\mathstrut q}$ とする．

$\boldsymbol{m>n}$ のとき

　Bは線分AQを $(m-n):n$ に内分する点だから， $$\begin{align*} \overrightarrow{\mathstrut b}&=\frac{n\overrightarrow{\mathstrut a}+(m-n)\overrightarrow{\mathstrut q}}{(m-n)+n}\\[5pt] &=\frac{n\overrightarrow{\mathstrut a}+(m-n)\overrightarrow{\mathstrut q}}m \end{align*}$$ 　これを $\overrightarrow{\mathstrut q}$ について解くと， $$\overrightarrow{\mathstrut q}=\frac{-n\overrightarrow{\mathstrut a}+m\overrightarrow{\mathstrut b}}{m-n}$$ 　$m< n$ のときも同様に計算すると，上と同じ式になることが示される．

内分点，外分点の位置ベクトル　2点$\rm{A}(\overrightarrow{a}),\ \rm{B}(\overrightarrow{b})$について，線分ABを $$\begin{align*} &m:n\mbox{に内分する点P}(\overrightarrow{p}):\hspace{4mm}\overrightarrow{p}=\frac{n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m+n}\\[5pt] &m:n\mbox{に外分する点Q}(\overrightarrow{q}):\hspace{4mm}\overrightarrow{q}=\frac{-n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m-n}\end{align*}$$ 　特に，線分ABの中点Mの位置ベクトル$\overrightarrow{m}$は $$\overrightarrow{m}=\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}2$$

例題　△ABCの重心Gの位置ベクトル $\overrightarrow{g}$ を求めよ．

答

　辺BCの中点を ${\rm M}(\overrightarrow{\mathstrut m})$ とすると， $$\overrightarrow{\mathstrut m}=\frac{\overrightarrow{\mathstrut b}+\overrightarrow{\mathstrut c}}2$$ 　Gは線分AMを $2:1$ に内分する点だから， $$\overrightarrow{\mathstrut g}=\frac{\overrightarrow{\mathstrut a}+2\overrightarrow{\mathstrut m}}{2+1}=\underline{\boldsymbol{\frac{\overrightarrow{\mathstrut a}+\overrightarrow{\mathstrut b}+\overrightarrow{\mathstrut c}}3}}$$

三角形の重心の位置ベクトル　3点${\rm A}(\overrightarrow{\mathstrut a}),\ {\rm B}(\overrightarrow{\mathstrut b}),\ {\rm C}(\overrightarrow{\mathstrut c})$について，△ABCの重心Gの位置ベクトル $\overrightarrow{g}$ は $$\overrightarrow{g}=\frac{\overrightarrow{\mathstrut a}+\overrightarrow{\mathstrut b}+\overrightarrow{\mathstrut c}}3$$

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