3. ベクトルの成分(ノート)
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数学B　第1章　ベクトル

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3. ベクトルの成分

3.1　ベクトルの成分表示

アイデア

　座標平面に有向線分(矢印)を配置する．

1. 座標平面上の原点を始点とするベクトルで，終点が点$(1,0)$ の $\overrightarrow{\mathstrut e_1}$ と，点$(0,1)$ の $\overrightarrow{\mathstrut e_2}$ の2つを用意．
2. 有向線分の始点が原点にくるよう平行移動．
3. 終点の座標を $(a_1,a_2)$ とすれば， $$\overrightarrow{\mathstrut a}=a_1\overrightarrow{\mathstrut e_1}+a_2\overrightarrow{\mathstrut e_2}$$

　つまり，常に始点を原点にとれば，

ベクトル　←1対1対応→　終点の座標

　そこで， $$\overrightarrow{\mathstrut a}=(a_1,a_2)$$ で表し，ベクトルの成分表示という．

　成分表示されたベクトルに対して，相等と大きさは次のようになる：

ベクトルの成分表示 　$\overrightarrow{\mathstrut a}=(a_1,a_2)$，$\overrightarrow{\mathstrut b}=(b_1,b_2)$ のとき， $$\overrightarrow{\mathstrut a}=\overrightarrow{\mathstrut b}\iff a_1=b_1\ \mbox{かつ} \ a_2=b_2$$ $$|\overrightarrow{\mathstrut a}|=\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2}$$

補足

　$\overrightarrow{\mathstrut a}=(k\,a_1,k\,a_2)$ のとき，

$$|\overrightarrow{\mathstrut a}|=|k|\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2}$$

注意

　成分表示における等号「$=$」は必ず．
　$\overrightarrow{\mathstrut a}(a_1,a_2)$ といった点の座標のようには書かない．

3.2　成分表示の和，差，実数倍

　$\overrightarrow{\mathstrut a}=(2,1)$，$\overrightarrow{\mathstrut b}=(1,3)$，$\overrightarrow{\mathstrut a}+\overrightarrow{\mathstrut b}$ を $\overrightarrow{\mathstrut c}$ とおくと，図より $$\overrightarrow{\mathstrut c}=(3,4)$$ 一方， $$\begin{align*} \overrightarrow{\mathstrut c}&=\overrightarrow{\mathstrut a}+\overrightarrow{\mathstrut b}\\[5pt] &=(2,1)+(1,3) \end{align*}$$ であるから， $$(2,1)+(1,3)=(2+1,1+3)$$ が成り立つ．
　また，$2\overrightarrow{\mathstrut a}$ を $\overrightarrow{\mathstrut d}$ とおくと，図より $$\overrightarrow{\mathstrut d}=(4,2)$$ 　一方， $$\overrightarrow{\mathstrut d}=2\overrightarrow{\mathstrut a}=2(2,1)$$ であるから， $$2(2,1)=(2\cdot2,2\cdot1)$$ が成り立つ．

　一般に次が成り立つ：

成分表示の和，差，実数倍 $$\begin{align*} &[1]\ \ (a_1,\ a_2)+(b_1,\ b_2)=(a_1+b_1,\ a_2+b_2)\\ &[2]\ \ k\,(a_1,\ a_2)=(k\,a_1,\ k\,a_2)\ \ (k\mbox{ は実数}) \end{align*}$$

証明

　$\overrightarrow{\mathstrut a}=(a_1,a_2)$，$\overrightarrow{\mathstrut b}=(b_1,b_2)$ は，$\overrightarrow{\mathstrut e_1}=(1,0)$，$\overrightarrow{\mathstrut e_2}=(0,1)$ を用いて， $$\begin{align*} &\overrightarrow{\mathstrut a}=a_1\overrightarrow{\mathstrut e_1}+a_2\overrightarrow{\mathstrut e_2}\\[5pt] &\overrightarrow{\mathstrut b}=b_1\overrightarrow{\mathstrut e_1}+b_2\overrightarrow{\mathstrut e_2} \end{align*}$$ と表されるから， $$\begin{align*} \overrightarrow{\mathstrut a}+\overrightarrow{\mathstrut b}&=(a_1+b_1)\overrightarrow{\mathstrut e_1}+(a_2+b_2)\overrightarrow{\mathstrut e_2}\\[5pt] &=(a_1+b_1,\ a_2+b_2)\\[5pt] \overrightarrow{\mathstrut a}-\overrightarrow{\mathstrut b}&=(a_1-b_1)\overrightarrow{\mathstrut e_1}+(a_2-b_2)\overrightarrow{\mathstrut e_2}\\[5pt] &=(a_1-b_1,\ a_2-b_2)\\[5pt] k\overrightarrow{\mathstrut a}&=k\,a_1\overrightarrow{\mathstrut e_1}+k\,a_2\overrightarrow{\mathstrut e_2}\\[5pt] &=(k\,a_1,\ k\,a_2) \end{align*}$$

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