7. 三角関数の合成(ノート)
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数学Ⅱ　第4章　三角関数

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7.0　三角関数の合成とは

三角関数の合成とは何か

　三角関数の合成公式と呼ばれるものがある．$\sin$ と $\cos$ の1次式を $\sin$ だけ，あるいは $\cos$ だけで書き表すもので，これは要するに $\sin$，$\cos$ の加法定理 で，右辺から左辺への書き換えのことである．例えば sin の加法定理である

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$

という式について，左辺と右辺を入れ替えた

$$\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta=\sin(\alpha+\beta)$$

が三角関数の sin による合成公式であると，大雑把に言うことができる．

7.1　sin での合成

$a\sin\theta+b\cos\theta$ を sin だけの式にする

　$\sin$ の加法定理 である $$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$ において，右辺から左辺に書き換えるのが $\sin$ での合成である．

例　$\sqrt3\sin\theta+\cos\theta=\mbox{□}\sin(\theta+\triangle)$

　この左辺を変形して，右辺のように $\sin$ だけの式を導こう．それには □ と △ の情報が必要である．□ と △ の値を得るために，以下のような手順で変形を行う．

手順

1. sin の係数である $\sqrt3$ と cos の係数である1の平方の和を計算し，正の平方根をとる．
   $$\sqrt{(\sqrt3)^2+1^2}=\sqrt4=2$$
2. 手順1で求めた 2 で，式全体を無理矢理くくる．
   $\sqrt3\sin\theta+\cos\theta=2\left(\sin\theta\cdot\underline{\dfrac{\sqrt3}2}_{\mbox{①}}+\cos\theta\cdot\underline{\dfrac12}_{\mbox{②}}\right)$
3. $\sin(\theta+\alpha)=\sin\theta\,\underline{\cos\alpha}_{\mbox{①}}\!\!+\cos\theta\,\underline{\sin\alpha}_{\mbox{②}}$ (sinの加法定理)の右辺と比較して，$\cos\alpha=\dfrac{\sqrt3}2$ (①)， $\sin\alpha=\dfrac12$ (②)となるような角 $\alpha$ を探すと，$\alpha=\dfrac\pi6$ が当てはまる．
4. sinの加法定理で右辺から左辺の書き換えを行って完了．
   $$\begin{align*}\sqrt3\sin\theta+\cos\theta&=2\left(\sin\theta\cos\dfrac\pi6+\cos\theta\sin\dfrac\pi6\right)\\[5pt]&=2\sin\left(\theta+\dfrac\pi6\right)\end{align*}$$

　以上の流れを式だけで表すと次のようになる：

$$\begin{align*} (\mbox{左辺})&=\sqrt{(\sqrt3)^2+1^2}\left(\sin\theta\cdot\frac{\sqrt3}2+\cos\theta\cdot\frac12\right)\\[5pt] &=\sqrt{3+1}\left(\underline{\sin\theta\cdot\cos\frac\pi6+\cos\theta\cdot\sin\frac\pi6}\right)\\[5pt] &=2\,\underline{\sin\left(\theta+\frac\pi6\right)} \end{align*}$$

※　　　の部分で $\sin$ の加法定理を用いた．

　一般に $$\begin{align*} a\,&\sin\theta\!+\!b\cos\theta\\[5pt] &=\sqrt{a^2\!+\!b^2}\left(\!\sin\theta\!\cdot\!\frac a{\sqrt{a^2\!+\!b^2}}\!+\!\cos\theta\!\cdot\!\frac b{\sqrt{a^2\!+\!b^2}}\!\right)\\[5pt] &=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\alpha) \end{align*}$$ 　ただし $\alpha$ は，

$$\sin\alpha=\frac b{\sqrt{a^2+b^2}},\ \cos\alpha=\frac a{\sqrt{a^2+b^2}}$$

となる角である．

覚え方

　三角関数を合成する際，上の手順書通りにやるとそれなりに手間がかかるが，実際には次のような考え方をとることで，慣れてくればほぼストレスフリーで合成完了までもっていけるようになる．

　座標平面上に，$\sin$ の係数を $x$ 座標に，$\cos$ の係数を $y$ 座標にもつ点 $(a,b)$ をとり，原点Oと結ぶ．この線分の長さ(図の□)が合成したときの $\sin$ の係数であり，線分と $x$ 軸の正の向きとのなす角(図の△)が合成したときに用いる角である．

三角関数の合成ができる型

　さて，三角関数が合成できる形は $a,b$ を実数の定数として

$$a\sin\theta+b\cos\theta$$

であって，

というのが特徴である．

例題　次の式を $r\sin(\theta+\alpha)$ の形に変形せよ．ただし，$r>0$，$-\pi<\alpha<\pi$ とする．
(1)　$-\sqrt3\sin\theta+\cos\theta$
(2)　$-\sqrt3\sin\theta-\cos\theta$
(3)　$\sqrt3\sin\theta-\cos\theta$

　解答例を表示する

(1)　$-\sqrt3\sin\theta+\cos\theta=\sqrt{(-\sqrt3)^2+1^2}\sin\left(\theta+\dfrac56\pi\right)$
　　　　　　　　　　$=2\sin\left(\theta+\dfrac56\pi\right)$

(2)　$-\sqrt3\sin\theta-\cos\theta=\sqrt{(-\sqrt3)^2+(-1)^2}\sin\left(\theta-\dfrac56\pi\right)$
　　　　　　　　　　$=2\sin\left(\theta-\dfrac56\pi\right)$

(3)　$\sqrt3\sin\theta-\cos\theta=\sqrt{(\sqrt3)^2+(-1)^2}\sin\left(\theta-\dfrac\pi6\right)$
　　　　　　　　　$=2\sin\left(\theta-\dfrac\pi6\right)$

補足

　例えば(1)では，

$$\begin{align*} -\sqrt3\sin\theta+\cos\theta&=-(\sqrt3\sin\theta-\cos\theta)\\[5pt] &=-2\sin\left(\theta-\frac\pi6\right) \end{align*}$$

というように，合成後の $\sin$ の係数を負の数にすることもできるが，普通は正の数で表されることがほとんどである．

7.2　cos での合成

$a\sin\theta+b\cos\theta$ を cos だけの式にする

　$\sin$ で合成したものと同じ式である $a\sin\theta+b\cos\theta$ を，今度は $\cos$ で合成してみよう．

　$\cos$ の加法定理 である $$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$$ において，右辺から左辺に書き換えるのが $\cos$ での合成である．

※　$\cos(\alpha+\beta)$ ではなく， $\cos(\alpha-\beta)$ とマイナスになっていることに注意．下の「注意」も参照．

例　$\sqrt3\sin\theta+\cos\theta=\mbox{□}\cos(\theta-\triangle)$

　この左辺を変形して，右辺のように $\cos$ だけの式を導こう．それには □ と △ の情報が必要である．□ と △ の値を得るために，以下のような手順で変形を行う．

手順

1. cosが前，sinが後ろになるように書き換えた上で，cos の係数である 1 と sin の係数である $\sqrt3$ の平方の和を計算し，正の平方根をとる． $$\sqrt{1^2+(\sqrt3)^2}=\sqrt4=2$$
2. 手順1で求めた 2 で，式全体を無理矢理くくる．
   $\cos\theta+\sqrt3\sin\theta=2\left(\cos\theta\cdot\underline{\dfrac12}_{\mbox{①}}+\sin\theta\cdot\underline{\dfrac{\sqrt3}2}_{\mbox{②}}\right)$
3. $\cos(\theta-\alpha)=\cos\theta\,\underline{\cos\alpha}_{\mbox{①}}\!\!+\sin\theta\,\underline{\sin\alpha}_{\mbox{②}}$ (cosの加法定理)の右辺と比較して，$\cos\alpha=\dfrac12$ (①)， $\sin\alpha=\dfrac{\sqrt3}2$ (②)となるような角 $\alpha$ を探すと，$\alpha=\dfrac\pi3$ が当てはまる．
4. cosの加法定理で右辺から左辺の書き換えを行って完了．
   $$\begin{align*}\cos\theta+\sqrt3\sin\theta&=2\left(\cos\theta\cos\dfrac\pi3+\sin\theta\sin\dfrac\pi3\right)\\[5pt]&=2\cos\left(\theta-\dfrac\pi3\right)\end{align*}$$

　以上の流れを式だけで表すと次のようになる：

$$\begin{align*} (\mbox{左辺})&=\cos\theta+\sqrt3\sin\theta\\[5pt] &=\sqrt{1^2+(\sqrt3)^2}\left(\cos\theta\cdot\frac12+\sin\theta\cdot\frac{\sqrt3}2\right)\\[5pt] &=\sqrt{1+3}\left(\underline{\cos\theta\cdot\cos\frac\pi3+\sin\theta\cdot\sin\frac\pi3}\right)\\[5pt] &=2\,\underline{\cos\left(\theta-\frac\pi3\right)} \end{align*}$$ 　　 ※　　　の部分で $\cos$ の加法定理を用いた．

　一般に $$\begin{align*} a\,&\sin\theta\!+\!b\cos\theta\\[5pt] &=b\cos\theta+a\sin\theta\\[5pt] &=\sqrt{b^2\!+\!a^2}\left(\!\cos\theta\!\cdot\!\frac b{\sqrt{a^2\!+\!b^2}}\!+\!\sin\theta\!\cdot\!\frac a{\sqrt{a^2\!+\!b^2}}\!\right)\\[5pt] &=\sqrt{a^2+b^2}\cos(\theta-\beta) \end{align*}$$ 　ただし $\beta$ は， $$\cos\beta=\frac b{\sqrt{a^2+b^2}},\ \sin\beta=\frac a{\sqrt{a^2+b^2}}$$ となる角である．

覚え方

　座標平面上に，$\cos$ の係数を $x$ 座標に，$\sin$ の係数を $y$ 座標にもつ点 $(b,a)$ をとり，原点Oと結ぶ．この線分の長さ(図の□)が合成したときの $\cos$ の係数であり，線分と $x$ 軸の正の向きとのなす角(図の△)が合成したときに用いる角である．

注意

　sin での合成と異なり，cosでの合成では

$$\sqrt{a^2+b^2}\cos(\theta\color{red}{\boldsymbol{-}}\beta)$$

と cos の中身を「マイナス」にして，上図の△の角を引かなければならない．これは cos の合成公式が，cos の加法定理である

$$\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta=\cos(\alpha\color{red}{\boldsymbol{-}}\beta)$$

を根拠に導かれたことによっている．この式の右辺の「マイナス」がそれを指す．

例題　次の式を $r\cos(\theta-\alpha)$ の形に変形せよ．ただし，$r>0$，$-\pi<\alpha<\pi$ とする．
(1)　$-\sqrt3\sin\theta+\cos\theta$
(2)　$-\sqrt3\sin\theta-\cos\theta$
(3)　$\sqrt3\sin\theta-\cos\theta$

　解答例を表示する

(1)　$-\sqrt3\sin\theta+\cos\theta=\cos\theta-\sqrt3\sin\theta$
　　　　　　　　　　$=\sqrt{1^2+(-\sqrt3)^2}\cos\left\{\theta-\left(-\dfrac\pi3\right)\right\}$
　　　　　　　　　　$=2\cos\left(\theta+\dfrac\pi3\right)$



(2)　$-\sqrt3\sin\theta-\cos\theta=-\cos\theta-\sqrt3\sin\theta$
　　　　　　　　　　 $=\sqrt{(-1)^2+(-\sqrt3)^2}\cos\left\{\theta-\left(-\dfrac23\pi\right)\right\}$
　　　　　　　　　　$=2\cos\left(\theta+\dfrac23\pi\right)$



(3)　$\sqrt3\sin\theta-\cos\theta=-\cos\theta+\sqrt3\sin\theta$
　　　　　　　　　 $=\sqrt{(-1)^2+(\sqrt3)^2}\cos\left(\theta-\dfrac23\pi\right)$
　　　　　　　　　$=2\cos\left(\theta-\dfrac23\pi\right)$

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