6. 三角関数の種々の公式(ノート)
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数学Ⅱ　第4章　三角関数

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1. 一般角と弧度法	[無料]
2. 一般角の三角関数	[無料]
3. 三角関数の性質	[無料]
4. 三角関数のグラフ	[会員]
5. 三角関数の加法定理	[会員]
6. 三角関数の種々の公式	[会員]
7. 三角関数の合成	[会員]
8. 三角関数の応用	[会員]

6.1　2倍角の公式

　角 $\alpha$ の三角関数がわかると，その2倍の大きさである $2\alpha$ の三角関数が計算できる．それが次の2倍角の公式である．

証明

sin の加法定理

\[\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\] において，$\beta$ も $\alpha$ とおくと， \[\sin(\alpha+\alpha)=\sin\alpha\cos\alpha+\cos\alpha\sin\alpha\] \[\therefore \sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\]

cos の加法定理

\[\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\] において，$\beta$ も $\alpha$ とおくと，\[\cos(\alpha+\alpha)=\cos\alpha\cos\alpha-\cos\alpha\cos\alpha\] \[\therefore \cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\ \ \cdots\mbox{①}\]

　①を sin だけの式にすると， \[\begin{align*} \cos2\alpha&=(1-\sin^2\alpha)-\sin^2\alpha\\[5pt] &=1-2\sin^2\alpha \end{align*}\]

　また，①を cos だけの式にすると， \[\begin{align*} \cos2\alpha&=\cos^2\alpha-(1-\cos^2\alpha)\\[5pt] &=2\cos^2\alpha-1 \end{align*}\]

tan の加法定理

\[\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\] において，$\beta$ も $\alpha$ とおくと， \[\begin{align*} \tan(\alpha+\alpha)&=\frac{\tan\alpha+\tan\alpha}{1-\tan\alpha\tan\alpha}\\[5pt] \therefore \tan2\alpha&=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha} \end{align*}\]

■

例題　$0<\alpha<\dfrac\pi2$ で，$\sin\alpha=\dfrac35$ のとき，$\sin2\alpha,\cos2\alpha,\tan2\alpha$ の値を2倍角の公式を用いて求めよ．

こたえ

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　$0<\alpha<\dfrac\pi2$ のとき，$\cos\alpha>0$ だから

\[\begin{align*} &\cos\alpha=\sqrt{1-\left(\frac35\right)^2}=\sqrt{\frac{16} {25}}=\frac45\\[5pt] &\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{3/5}{4/5}=\frac34 \end{align*}\]

　よって

\[\begin{align*} &\sin2\alpha=2\cdot\frac35\cdot\frac45=\frac{24}{25}\\[5pt] &\cos2\alpha=\left(\frac45\right)^2-\left(\frac35\right)^2=\frac7{25}\\[5pt] &\tan2\alpha=\frac{2\cdot\frac34}{1-\left(\frac34\right)^2}=\frac{24}7 \end{align*}\]

6.2　半角の公式

　角 $\alpha$ の三角関数が与えられると，その半分の角である $\dfrac\alpha2$ の三角関数も計算することができる．それが次の半角の公式である．

証明

　$\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha$ より \[\sin^2\alpha=\frac{1-\cos2\alpha}2\] 　$\alpha$ を $\dfrac\alpha2$ におきかえて， \[\begin{align*} \sin^2\frac\alpha2&=\frac{1-\cos\left(2\cdot\frac\alpha2\right)}2\\[5pt] &=\frac{1-\cos\alpha}2 \end{align*}\] 　$\cos^2\dfrac\alpha2$ も $\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1$ より同様に計算できる．

\[\begin{align*} \tan^2\frac\alpha2&=\left(\frac{\sin\frac\alpha2}{\cos\frac\alpha2}\right)^2\\[5pt] &=\frac{\sin^2\frac\alpha2}{\cos^2\frac\alpha2}\\[5pt] &=\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha} \end{align*}\]

■

注意

　公式の左辺を見ればわかるように，半角公式では $\dfrac\alpha2$ の三角関数が得られるのではなく，それらを2乗した値が得られる．$\dfrac\alpha2$ そのものの三角関数を得るには平方根をとればよいが，正負どちらになるのかを条件から判定する必要がある．

例題　$\dfrac\pi2<\alpha<\pi$ で，$\sin\alpha=\dfrac35$ のとき，$\sin\dfrac\alpha2,\cos\dfrac\alpha2,\tan\dfrac\alpha2$ の値を半角の公式を用いて求めよ．

こたえ

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　$\dfrac\pi2<\alpha<\pi$ のとき，$\cos\alpha<0$ だから

\[\cos\alpha=-\sqrt{1-\left(\frac35\right)^2}=-\frac45\]

　よって

\[\begin{align*} &\sin^2\frac\alpha2=\frac{1-\left(-\frac45\right)}2=\frac9{10}\\[10pt] &\cos^2\frac\alpha2=\frac{1+\left(-\frac45\right)}2=\frac1{10}\\[10pt] &\tan^2\frac\alpha2=\frac{1-\left(-\frac45\right)}{1+\left(-\frac45\right)}=9 \end{align*}\]

　$\dfrac\pi2<\alpha<\pi$ のとき，$\dfrac\pi4<\dfrac\alpha2 <\dfrac\pi2$ だから，$\dfrac\alpha2$ の三角関数はすべて正である．よって

\[\sin\frac\alpha2=\frac3{\sqrt{10}},\ \cos\frac\alpha2=\frac1{\sqrt{10}},\ \tan\frac\alpha2=3\]

6.3　3倍角の公式

証明

\[\begin{align*} \sin3\alpha&=\sin(2\alpha+\alpha)\\[5pt] &=\sin2\alpha\cos\alpha+\cos2\alpha\sin\alpha\\[5pt] &=2\sin\alpha\cos^2\alpha+(1-2\sin^2\alpha)\sin\alpha\\[5pt] &=2\sin\alpha(1-\sin^2\alpha)+\sin\alpha-2\sin^3\alpha\\[5pt] &=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha \\[15pt] \cos3\alpha&=\cos(2\alpha+\alpha)\\[5pt] &=\cos2\alpha\cos\alpha-\sin2\alpha\sin\alpha\\[5pt] &=(2\cos^2\alpha-1)\cos\alpha-2\sin\alpha\cos\alpha\cdot\sin\alpha\\[5pt] &=(2\cos^2\alpha-1)\cos\alpha-2(1-\cos^2\alpha)\cos\alpha\\[5pt] &=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha \end{align*}\]

■

例題　$\alpha=\dfrac\pi5$ のとき，次の各問いに答えよ．
(1)　$\sin3\alpha=\sin2\alpha$ が成り立つことを示せ．
(2)　(1) の等式を利用して$\cos\alpha$ の値を求めよ．

こたえ

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(1) $\sin3\alpha=\sin\dfrac{3\pi}5=\sin\left(\pi-\dfrac{2\pi}5\right)=\sin\dfrac{2\pi}5=\sin2\alpha$

■

(2) 3倍角，2倍角の公式により

\[3\sin\alpha-4\sin^3\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\]

　整理して

\[\sin\alpha(3-4\sin^2\alpha-2\cos\alpha)=0\]

　$\sin\alpha\neq0$ であるから，$3-4\sin^2\alpha-2\cos\alpha=0$

\[3-4(1-\cos^2\alpha)-2\cos\alpha=0\]

\[4\cos^2\alpha-2\cos\alpha-1=0\]

\[\therefore \cos\alpha=\frac{1\pm\sqrt5}4\]

　$\cos\alpha>0$ であるから，$\cos\alpha=\dfrac{1+\sqrt5}4$．

6.4　積和公式

\[\begin{align*} &[1]\ \sin\alpha\cos\beta=\frac12\{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\}\\[5pt] &[2]\ \cos\alpha\sin\beta=\frac12\{\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\}\\[5pt] &[3]\ \cos\alpha\cos\beta=\frac12\{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\}\\[5pt] &[4]\ \sin\alpha\sin\beta=-\frac12\{\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\} \end{align*}\]

証明

[1]，[2]

　sin の加法定理により，
　　$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\ \cdots$①
　　$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\ \cdots$②
　①$+$②より， \[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)=2\sin\alpha\cos\beta\] \[\therefore \sin\alpha\cos\beta=\frac12\{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\}\] 　①$-$②より， \[\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\sin\beta\] \[\therefore \cos\alpha\sin\beta=\frac12\{\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\}\]

[3]，[4]

　cos の加法定理により，上と同様にして導くことができる．

■

6.5　和積公式

\[\begin{align*} &[1]\ \sin A+\sin B=2\sin\frac{A+B}2\cos\frac{A-B}2\\[5pt] &[2]\ \sin A-\sin B=2\cos\frac{A+B}2\sin\frac{A-B}2\\[5pt] &[3]\ \cos A+\cos B=2\cos\frac{A+B}2\cos\frac{A-B}2\\[5pt] &[4]\ \cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}2\sin\frac{A-B}2\\[5pt] \end{align*}\]

証明

　積和公式において， \[\left\{\begin{array}{l} \alpha+\beta=A\\[5pt] \alpha-\beta=B \end{array}\right.\] とおくと， \[\left\{\begin{array}{l} \alpha=\dfrac{A+B}2\\[5pt] \beta=\dfrac{A-B}2 \end{array}\right.\] であるから，例えば， \[\sin\alpha\cos\beta=\frac12\{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\}\] に代入して， \[\sin\frac{A+B}2\cos\frac{A-B}2=\frac12(\sin A+\sin B)\] \[\therefore \sin A+\sin B=2\sin\frac{A+B}2\cos\frac{A-B}2\] 　他の3つも同様に導くことができる．

■

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