5．三角関数の加法定理【演習問題】｜スライドで学ぶ高校数学

数学Ⅱ　第4章　三角関数

	スライド	ノート	問題
1. 一般角と弧度法	[会員]
2. 一般角の三角関数	[会員]
3. 三角関数の性質	[会員]		[会員]
4. 三角関数のグラフ	[会員]
5. 三角関数の加法定理	[会員]		[会員]
6. 三角関数の種々の公式	[会員]
7. 三角関数の合成	[会員]
8. 三角関数の応用	[会員]

演習問題

問題１【発展】
　 $xy$ 平面上の曲線 $y=x^2$ 上の3点を， $x$ 座標の小さいものから順にA，B，Cとする．AとBの $x$ 座標の差は $a$ ( $a$ は正の定数)，BとCとの $x$ 座標の差は1，という関係を保ちながら3点A，B，Cが動く．
　∠CABが最大になるときの，点Aの $x$ 座標を $a$ で表せ．また，∠CABが最大になるときに，∠ABCが直角になるような $a$ の値を求めよ．

(東京大)

問題１【発展】

　 $xy$ 平面上の曲線 $y=x^2$ 上の3点を， $x$ 座標の小さいものから順にA，B，Cとする．AとBの $x$ 座標の差は $a$ ( $a$ は正の定数)，BとCとの $x$ 座標の差は1，という関係を保ちながら3点A，B，Cが動く．
　∠CABが最大になるときの，点Aの $x$ 座標を $a$ で表せ．また，∠CABが最大になるときに，∠ABCが直角になるような $a$ の値を求めよ．

(東京大)

　東京大学(1982)の問題です．東大では他にも放物線上に3点をとって三角形を考えさせる問題(例えば2004年 )があります．難しいですが，学習効果はそれに見合うだけのものはあります．ポイントは

　ポイント

直線のなす角は $\tan$ の加法定理で考える

ということです．

解答

　点Aの $x$ 座標を $t$ とすると，点B，Cの $x$ 座標はそれぞれ $t+a$ ， $t+a+1$ となる．直線AB，ACが $x$ 軸と正の向きとのなす角をそれぞれ $\alpha,\ \beta$ とすると，

$\tan\alpha=2t+a,\ \tan\beta=2t+a+1$

である．

補足　放物線 $y=x^2$ 上の任意の異なる2点 $(p,\ p^2)$ ， $(q,\ q^2)$ を結ぶ直線の傾きは $\frac{q^2-p^2}{q-p}=p+q$ となります．つまり2点の $x$ 座標の和がその2点を結ぶ直線の傾きとなります．

　従って

$\begin{align*} \tan(\beta-\alpha)&=\frac{\tan\beta-\tan\alpha}{1+\tan\beta\tan\alpha}\\[5pt] &=\frac1{1+(2t+a)(2t+a+1)}\\[5pt] &=\frac1{1+A(A+1)}\\[5pt] &=\frac1{\left(A+\dfrac12\right)^2+\dfrac34} \end{align*}$

　（ただし， $2t+a=A$ とおいた．）

　 $\left(A+\dfrac12\right)^2+\dfrac34>0$ であるから， $\tan(\beta-\alpha)>0$ ．従って $\tan(\beta-\alpha)$ が最大となるとき，2直線ABとACのなす角，すなわち∠CABは最大となる．

　それは $A+\dfrac12=0$ となるときで， $2t+a+\dfrac12=0$ ，すなわち $\underline{t=-\dfrac a2-\dfrac14}$ となるときである．

　また，直線BCの傾きは $2t+2a+1$ であるから，∠ABCが直角になるとき，2直線ABとBCの傾きの積が $-1$ より

$(2t+a)(2t+2a+1)=-1$

$-\dfrac12\left(a+\dfrac12\right)=-1$

$\therefore \underline{a=\dfrac32}$