高校数学[総目次]
数学Ⅱ 第4章 三角関数
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1. 一般角と弧度法 | [無料] | |
2. 一般角の三角関数 | [無料] | |
3. 三角関数の性質 | [無料] | |
4. 三角関数のグラフ | [会員] | |
5. 三角関数の加法定理 | [会員] | |
6. 三角関数の種々の公式 | [会員] | |
7. 三角関数の合成 | [会員] | |
8. 三角関数の応用 | [会員] |
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2.1 三角関数の定義
数学Ⅰの三角比のところで,角 $\theta$ を $0^\circ$ や $90^\circ$ 以上に拡張した際のアイデアは,そのまま一般角 $\theta$ に対する $\sin$,$\cos$,$\tan$ に適用することができる.
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$x$ 軸の正の向きを始線とする一般角 $\theta$ の動径と,原点を中心とする半径 $r$ の円との交点をPとし,その座標を $(x,y)$ とする.このとき,$\sin\theta$,$\cos\theta$,$\tan\theta$ を次で定義する:
三角関数の定義 \[\begin{align*} \sin\theta&=\frac yr\\[5pt] \cos\theta&=\frac xr\\[5pt] \tan\theta&=\frac yx\ \ (\theta\neq\frac\pi2+n\pi,\ n\,\mbox{は整数}) \end{align*}\]
この定義によれば,$\sin\theta$,$\cos\theta$,$\tan\theta$ の各値は,相似な図形を考えればわかるように半径 $r$ にはよらず,$\theta$ によってただ1つ定まる.つまり角 $\boldsymbol{\theta}$ の関数である.これら $\sin\theta$,$\cos\theta$,$\tan\theta$ を三角関数という.
例 $\theta=-\dfrac\pi3$ のときの,$\sin\theta$,$\cos\theta$,$\tan\theta$
答 $-\dfrac\pi3$ の動径と,半径2の円との交点をPとすると,Pの座標は $(1,-\sqrt3)$ であるから,
![](https://www.himawari-math.com/wp-content/uploads/2021/08/fig5.png)
\[\begin{align*} &\sin\left(-\frac\pi3\right)=\frac{-\sqrt3}2=-\frac{\sqrt3}2\\[5pt] &\cos\left(-\frac\pi3\right)=\frac12\\[5pt] &\tan\left(-\frac\pi3\right)=\frac{-\sqrt3}1=-\sqrt3 \end{align*}\]
代表的な三角関数の値をまとめると次の表のようになる:
$\theta$ | 0 | $\dfrac\pi6$ | $\dfrac\pi4$ | $\dfrac\pi3$ | $\dfrac\pi2$ |
$\sin\theta$ | 0 | $\dfrac12$ | $\dfrac1{\sqrt2}$ | $\dfrac{\sqrt3}2$ | 1 |
$\cos\theta$ | 1 | $\dfrac{\sqrt3}2$ | $\dfrac1{\sqrt2}$ | $\dfrac12$ | 0 |
$\tan\theta$ | 0 | $\dfrac1{\sqrt3}$ | 1 | $\sqrt3$ | – |
$\theta$ | $\dfrac\pi2$ | $\dfrac{2\pi}3$ | $\dfrac{3\pi}4$ | $\dfrac{5\pi}6$ | $\pi$ |
$\sin\theta$ | 1 | $\dfrac{\sqrt3}2$ | $\dfrac1{\sqrt2}$ | $\dfrac12$ | 1 |
$\cos\theta$ | 0 | $-\dfrac12$ | $-\dfrac1{\sqrt2}$ | $-\dfrac{\sqrt3}2$ | 0 |
$\tan\theta$ | – | $-\sqrt3$ | $-1$ | $-\dfrac1{\sqrt3}$ | 0 |
![](https://www.himawari-math.com/wp-content/uploads/2023/05/ruler.png)
2.2 単位円における三角関数
原点を中心とする半径1の円を単位円という.
単位円で三角関数を考えると,半径 $r=1$ であるから次のようになる:
単位円での三角関数 \[\begin{align*} \sin\theta&=y\\[5pt] \cos\theta&=x\\[5pt] \tan\theta&=\frac yx \end{align*}\]
![](https://www.himawari-math.com/wp-content/uploads/2021/11/fig7-1.png)
今後三角関数は基本的に単位円を用いて考えていくことになる.その理由は何か.単に $\sin\theta,\cos\theta$ が分数の表記を取らないからラクだというのは些細なメリットで,それよりずっと大きなメリットは図のように角 $\theta$ の動径をOPとすると,
${\boldsymbol \sin\theta}$ はPの ${\boldsymbol y}$ 座標そのもの
${\boldsymbol \cos\theta}$ はPの ${\boldsymbol x}$ 座標そのもの
となることである.つまり
三角関数を単位円で考えることの意義
$\boldsymbol{\sin\theta,\ \cos\theta}$ の視覚化
であり,これは誠に重要である.
補足
$\theta$ が第2,第3象限の角のとき,$\tan\theta$ の視覚化については次のように考える:
\[\tan\theta=\frac yx=\frac{-y}{-x}=\frac m1=m\]
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※2点 $(x,y),\ (-x,-y)$ は原点に関して対称である.
例題 $0\!\leqq\!\theta\!<\!2\pi$ のとき,$\cos\theta\!=\!-\dfrac12$ を満たす $\theta$ の値はを求めよ.
こたえ
解答例を表示する >![](https://www.himawari-math.com/wp-content/uploads/2023/06/clip.png)
2.3 三角関数の符号と取りうる値の範囲
三角関数の符号
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三角関数の取りうる値の範囲
\[\begin{gather*}-1\leqq\sin\theta\leqq 1\\[5pt] -1\leqq\cos\theta\leqq 1\\[5pt] \tan\theta\ \mbox{はすべての実数値をとりうる}\end{gather*}\]
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