高校数学[総目次]
数学Ⅱ 第4章 三角関数
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| 2. 一般角の三角関数 | [無料] | |
| 3. 三角関数の性質 | [無料] | |
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| 5. 三角関数の加法定理 | [会員] | |
| 6. 三角関数の種々の公式 | [会員] | |
| 7. 三角関数の合成 | [会員] | |
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2.1 三角関数の定義
数学Ⅰの三角比のところで，角 $\theta$ を $0^\circ$ や $90^\circ$ 以上に拡張した際のアイデアは，そのまま一般角 $\theta$ に対する $\sin$，$\cos$，$\tan$ に適用することができる．
$x$ 軸の正の向きを始線とする一般角 $\theta$ の動径と，原点を中心とする半径 $r$ の円との交点をPとし，その座標を $(x,y)$ とする．このとき，$\sin\theta$，$\cos\theta$，$\tan\theta$ を次で定義する：
三角関数の定義 \[\begin{align*} \sin\theta&=\frac yr\\[5pt] \cos\theta&=\frac xr\\[5pt] \tan\theta&=\frac yx\ \ (\theta\neq\frac\pi2+n\pi,\ n\,\mbox{は整数}) \end{align*}\]
この定義によれば，$\sin\theta$，$\cos\theta$，$\tan\theta$ の各値は，相似な図形を考えればわかるように半径 $r$ にはよらず，$\theta$ によってただ1つ定まる．つまり角 $\boldsymbol{\theta}$ の関数である．これら $\sin\theta$，$\cos\theta$，$\tan\theta$ を三角関数という．
例 $\theta=-\dfrac\pi3$ のときの，$\sin\theta$，$\cos\theta$，$\tan\theta$
答 $-\dfrac\pi3$ の動径と，半径2の円との交点をPとすると，Pの座標は $(1,-\sqrt3)$ であるから，
\[\begin{align*} &\sin\left(-\frac\pi3\right)=\frac{-\sqrt3}2=-\frac{\sqrt3}2\\[5pt] &\cos\left(-\frac\pi3\right)=\frac12\\[5pt] &\tan\left(-\frac\pi3\right)=\frac{-\sqrt3}1=-\sqrt3 \end{align*}\]
代表的な三角関数の値をまとめると次の表のようになる：
| $\theta$ | 0 | $\dfrac\pi6$ | $\dfrac\pi4$ | $\dfrac\pi3$ | $\dfrac\pi2$ |
| $\sin\theta$ | 0 | $\dfrac12$ | $\dfrac1{\sqrt2}$ | $\dfrac{\sqrt3}2$ | 1 |
| $\cos\theta$ | 1 | $\dfrac{\sqrt3}2$ | $\dfrac1{\sqrt2}$ | $\dfrac12$ | 0 |
| $\tan\theta$ | 0 | $\dfrac1{\sqrt3}$ | 1 | $\sqrt3$ | – |
| $\theta$ | $\dfrac\pi2$ | $\dfrac{2\pi}3$ | $\dfrac{3\pi}4$ | $\dfrac{5\pi}6$ | $\pi$ |
| $\sin\theta$ | 1 | $\dfrac{\sqrt3}2$ | $\dfrac1{\sqrt2}$ | $\dfrac12$ | 1 |
| $\cos\theta$ | 0 | $-\dfrac12$ | $-\dfrac1{\sqrt2}$ | $-\dfrac{\sqrt3}2$ | 0 |
| $\tan\theta$ | – | $-\sqrt3$ | $-1$ | $-\dfrac1{\sqrt3}$ | 0 |
2.2 単位円における三角関数
原点を中心とする半径1の円を単位円という．
単位円で三角関数を考えると，半径 $r=1$ であるから次のようになる：
単位円での三角関数 \[\begin{align*} \sin\theta&=y\\[5pt] \cos\theta&=x\\[5pt] \tan\theta&=\frac yx \end{align*}\]
今後三角関数は基本的に単位円を用いて考えていくことになる．その理由は何か．単に $\sin\theta,\cos\theta$ が分数の表記を取らないからラクだというのは些細なメリットで，それよりずっと大きなメリットは図のように角 $\theta$ の動径をOPとすると，
${\boldsymbol \sin\theta}$ はPの ${\boldsymbol y}$ 座標そのもの
${\boldsymbol \cos\theta}$ はPの ${\boldsymbol x}$ 座標そのもの
となることである．つまり
三角関数を単位円で考えることの意義
$\boldsymbol{\sin\theta,\ \cos\theta}$ の視覚化
であり，これは誠に重要である．
補足
$\theta$ が第2，第3象限の角のとき，$\tan\theta$ の視覚化については次のように考える：
\[\tan\theta=\frac yx=\frac{-y}{-x}=\frac m1=m\]
※2点 $(x,y),\ (-x,-y)$ は原点に関して対称である．
例題 $0\!\leqq\!\theta\!<\!2\pi$ のとき，$\cos\theta\!=\!-\dfrac12$ を満たす $\theta$ の値はを求めよ．
こたえ
解答例を表示する
2.3 三角関数の符号と取りうる値の範囲
三角関数の符号
三角関数の取りうる値の範囲
\[\begin{gather*}-1\leqq\sin\theta\leqq 1\\[5pt] -1\leqq\cos\theta\leqq 1\\[5pt] \tan\theta\ \mbox{はすべての実数値をとりうる}\end{gather*}\]
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