5．余弦定理【演習問題】｜スライドで学ぶ高校数学

演習問題

※以下の問題では，△ABCにおいて下図のように∠A，∠B，∠Cをそれぞれ $A,B,C$ (斜体)で表し，辺BC，CA，ABをそれぞれ $a,b,c$ (小文字の斜体)で表すものとする．

問題１【基本】　　ヒント　ヒント
　次の条件を満たす△ABCは，どのような形の三角形か．\[\sin A=2\cos B\sin C\]

問題２【標準】　　ヒント　ヒント
　△ABCにおいて，次の等式を証明せよ．\[a\cos A\sin C=(b-a\cos C)\sin A\]

問題３【標準】　　ヒント
　1辺の長さが2である正四面体OABCにおいて，辺OAの中点をMとする．辺BC上に点Pをとるとき，線分PMの長さの最小値を求めよ．

　次の条件を満たす△ABCは，どのような形の三角形か．\[\sin A=2\cos B\sin C\]

　 POINT
　三角比は正弦定理，余弦定理を用いてすべて辺の長さの式にするのが定石です．

　△ABCの外接円の半径を $R$ とすると，

正弦定理により　$\sin A=\dfrac a{2R},\ \sin C=\dfrac c{2R}$
余弦定理により　$\cos B=\dfrac{c^2+a^2-b^2}{2ca}$

　これらを与式に代入して

\[\frac a{2R}=2\cdot\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\cdot\frac c{2R}\]

　両辺を $2aR$ 倍すると

\[a^2=c^2+a^2-b^2\]

\[\therefore b^2-c^2=0\]

\[(b+c)(b-c)=0\]

　$b+c\neq0$ であるから $b-c=0$．すなわち $b=c$．

　よって△ABCは $b=c$ の二等辺三角形である．

　△ABCにおいて，次の等式を証明せよ．\[a\cos A\sin C=(b-a\cos C)\sin A\]

　 POINT
　(1)と同様に，正弦定理，余弦定理を用いてすべて辺の長さの式にします．