6．二項分布(ノート)｜スライドで学ぶ高校数学

高校数学[総目次]

数学B　第3章　統計的な推測

	スライド	ノート	問題
1. 確率変数と確率分布
2. 確率変数の期待値と分散
3. 確率変数の変換
4. 確率変数の和と期待値
5. 独立な確率変数と期待値・分散
6. 二項分布
7. 正規分布
8. 母集団と標本			[会員]
9. 推定
10. 仮説検定

6．二項分布

6.1　二項分布とは

　さいころを3回投げたとき，2以下の目がでる回数を $X$ とすると，$X$ は確率変数である．1回の試行において2以下の目が出る確率は $\dfrac26=\dfrac13$，2以下の目が出ない(3以上の目が出る)確率は $1-\dfrac13=\dfrac23$ であるから，$X$ の分布は次のように計算される：

$$\begin{align*} P(X=0)&=\ {_3\rm C_0}\ \left(\frac23\right)^3\ =\ \frac8{3^3}\\[5pt] P(X=1)&={_3\rm C_1}\frac13\cdot\left(\frac23\right)^2=\frac{12}{3^3}\\[5pt] P(X=2)&={_3\rm C_2}\left(\frac13\right)^2\cdot\frac23=\frac6{3^3}\\[5pt] P(X=3)&=\ {_3\rm C_3}\ \left(\frac13\right)^3\ =\ \frac1{3^3}\\[5pt] \end{align*}$$

　この例のように，$n$ 回の反復試行で事象Aが起こる回数を表す確率変数 $X$ が従う分布は，次に説明するように二項分布と呼ばれている．

　1回の試行で事象 $A$ の起こる確率が $p$ とする．このとき事象 $A$ が起こらない確率を $q$ とすると， $q=1-p$ である．

　この試行を $n$ 回繰り返したとき，事象 $A$ の起こる回数を $X$ とすると，$X$ は確率変数となり，

$$P(X=r)={_n{\rm C}}_r\ p^rq^{n-r}$$

である．従って確率変数 $X$ の分布は次のようになる．

この確率変数 $X$ が従う分布を二項分布(binomial distribution)といい，$B(n,p)$ で表す．

二項分布　1回において事象Aが起こる確率が $p$ である試行を $n$ 回繰り返したとき，事象Aが起こる回数を $X$ とすると，$X$ は確率変数となり，二項分布 $B(n,p)$ に従う．

「二項」という用語は二項定理

$$(a+b)^n={_n\rm C}_0\,a^n\!+\!{_n\rm C}_1\,a^{n-1}b\!+\!{_n\rm C}_2\,a^{n-2}b^2\!+\!\cdots\!+\!{_n\rm C}_n\,b^n$$

からきており，この展開項において $a$ を $q$ に，$b$ を $p$ に置き換えると，上の表の確率が現れる．また左辺は

$$(a+b)^n=(q+p)^n=1^n=1$$

であるから，確かに確率の合計は1である．

例1　さいころを5回投げるとき，1の目が出る回数を $X$ とすると，$X$ は二項分布 $B\left(5,\dfrac16\right)$ に従う確率変数である．

例2　硬貨を3回投げるとき，表の面が出る回数を $X$ とすると，$X$ は二項分布 $B\left(3,\dfrac12\right)$ に従う確率変数である．

6.2　二項分布の期待値と分散

　ある試行で事象 $A$ の起こる確率が $p$ であるとし，この試行を $n$ 回繰り返す．$k$ 回目の試行で $A$ が起これば 1，起こらなければ 0 をとる確率変数を $X_k$ とすると，$X_k$ の従う分布は次のようになる．

$X_k$	0	1	計
$P$	$1-p$	$p$	$1$

　故に $X_k$ の期待値 $E(X_k)$ は

$$E(X_k)=0\cdot(1-p)+1\cdot p=p$$

である．ここで $X$ を

$$X=X_1+X_2+\cdots+X_n$$

とすると， $X$ はこの試行を $n$ 回繰り返したとき，事象 $A$ が起こる回数を表す確率変数であるから，二項分布 $B(n,\ p)$ に従う．

　$X$ の期待値 $E(X)$ は

$$\begin{align*} E(X)&=E(X_1+X_2+\cdots+X_n)\\[5pt] &=E(X_1)+E(X_2)+\cdots+E(X_n)\\[5pt] &=p+p+\cdots+p\\[5pt] &=np \end{align*}$$

　また，

$$E({X_k}^2)=0^2\cdot (1-p)+1^2\cdot p=p$$

であるから，$X_k$ の分散 $V(X_k)$ は

$$\begin{align*} V(X_k)&=E({X_k}^2)-\{E(X_k)\}^2\\[5pt] &=p-p^2\\[5pt] &=p(1-p) \end{align*}$$

となり，反復試行では各回の試行は独立であるから，確率変数 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ も独立で，

$$\begin{align*} V(X)&=V(X_1+X_2+\cdots+X_n)\\[5pt] &=V(X_1)+V(X_2)+\cdots+V(X_n)\\[5pt] &=np(1-p) \end{align*}$$

が成り立つ．(独立な確率変数の和の分散 )

まとめ　確率変数 $X$ が二項分布 $B(n,\ p)$ に従うとき， $$\begin{align*} &E(X)=np\\[5pt] &V(X)=np(1-p)\\[5pt] &\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)} \end{align*}$$

例題　さいころを50回投げて，2以下の目が出た回数を $X$ とするとき，$E(X), V(X)$ を求めよ．

答

　確率変数 $X$ は，二項分布 $B\left(50,\dfrac 13\right)$ に従うから，

$$\begin{align*} E(X)&=50\cdot\frac13=\frac{50}3\\[5pt] V(X)&=50\cdot\frac13\left(1-\frac13\right)=\frac{100}9 \end{align*}$$

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