高校数学[総目次]
数学B 第3章 統計的な推測
| スライド | ノート | 問題 | |
| 1. 確率変数と確率分布 | |||
| 2. 確率変数の期待値と分散 | |||
| 3. 確率変数の変換 | |||
| 4. 確率変数の和と期待値 | |||
| 5. 独立な確率変数と期待値・分散 | |||
| 6. 二項分布 | |||
| 7. 正規分布 | |||
| 8. 母集団と標本 | [会員] | ||
| 9. 推定 | |||
| 10. 仮説検定 |
4．確率変数の和と期待値
4.1 同時分布
確率変数 $X,Y$ について，$X=a$ かつ $Y=b$ である確率を
\[P(X=a,Y=b)\]
と表す．
2つの確率変数 $X, Y$について，
$X$ のとる値：$x_1,x_2,\cdots,x_n$ の $n$ 個
$Y$ のとる値：$y_1,y_2,\cdots,y_m$ の $m$ 個
であるとし，$P(X=x_i,Y=y_j)$ を $p_{ij}$ で表すとき，次の表のようにまとめることができる：
| $X\backslash Y$ | $y_1\hspace{6mm}y_2\ \ \ \ \cdots\ \ \ y_j\ \ \ \ \cdots\ \ \ y_m$ | 計 |
| $x_1$ | $p_{11}\hspace{5mm}p_{12}\ \ \ \cdots \ \ \ p_{1j}\ \ \ \cdots \ \ \ p_{1m}$ | $p_1$ |
| $x_2$ | $p_{21}\hspace{5mm}p_{22}\ \ \ \cdots \ \ \ p_{2j}\ \ \ \cdots \ \ \ p_{2m}$ | $p_2$ |
| $\vdots$ | $\hspace{9mm}\vdots$ | $\vdots$ |
| $x_i$ | $p_{i1}\hspace{5mm}p_{i2}\ \ \ \cdots \ \ \ p_{ij}\ \ \ \cdots \ \ \ p_{im}$ | $p_i$ |
| $\vdots$ | $\hspace{9mm}\vdots$ | $\vdots$ |
| $x_n$ | $p_{n1}\hspace{5mm}p_{n2}\ \ \ \cdots \ \ \ p_{nj}\ \ \ \cdots \ \ \ p_{nm}$ | $p_n$ |
| 計 | $q_1\hspace{6mm}q_2\ \ \ \ \cdots \ \ \ q_j\ \ \ \ \cdots \ \ \ q_m$ | 1 |
このように，2数の組 $(x_i,\ y_j)$ と確率 $p_{ij}$ の対応を $X$ と $Y$ の同時分布または同時確率分布(joint probability distribution)という．
また，$x_i\ \ (i=1,2,\cdots,n)$ について，$P(X=x_i)$ というのは，上の表で横に足していった合計となる：
\[\begin{align*} P(X=x_i)&=p_{\,i1}+p_{\,i2}+\cdots+p_{\,i\,m}\\[5pt] &=p_i \end{align*}\]
従って，確率変数 $X$ の分布は次のようになる：
| $X$ | $x_1\hspace{5mm}x_2\ \ \ \cdots\ \ \ x_n$ | 計 |
| $P$ | $p_1\hspace{5mm}p_2\ \ \ \cdots \ \ \ p_n$ | 1 |
同様にして，$y_j\ \ (j=1,2,\cdots,m)$ について，$P(Y=y_j)$ というのは，上の表で縦に足していった合計となる：
\[\begin{align*} P(Y=y_j)&=p_{1j}+p_{2j}+\cdots+p_{nj}\\[5pt] &=q_j \end{align*}\]
従って，確率変数 $Y$ の分布は次のようになる：
| $Y$ | $y_1\hspace{5mm}y_2\ \ \ \cdots\ \ \ y_m$ | 計 |
| $P$ | $q_1\hspace{5mm}q_2\ \ \ \cdots \ \ \ q_m$ | 1 |
これら $X, Y$ のそれぞれの確率分布を周辺分布または周辺確率分布(marginal probability distribution)という．
例題 赤玉3個と白玉2個の合計5個が入った袋から，Aがまず2個取り出し，玉を元に戻さず，次にBが1個取り出す．AとBが取り出した赤玉の個数をそれぞれ $X, Y$ とするとき，次の各問いに答えよ．
（1） $X$ と $Y$ の同時分布を求めよ．
（2） $X$ の周辺分布を求めよ．
（3） $Y$ の周辺分布を求めよ．
答
準備
\[\begin{align*} P(X=0)&=\frac{_3{\rm C}_0\times {_2}{\rm C}_2}{_5{\rm C}_2}=\frac1{10}\\[5pt] P(X=1)&=\frac{_3{\rm C}_1\times{_2}{\rm C}_1}{_5{\rm C}_2}=\frac6{10}\\[5pt] P(X=2)&=\frac{_3{\rm C}_2\times{_2}{\rm C}_0}{_5{\rm C}_2}=\frac3{10}\\[5pt] \end{align*}\]
よって，
\[\begin{align*} P(X=0,Y=0)&=\frac1{10}\times\frac03=0\\[5pt] P(X=0,Y=1)&=\frac1{10}\times\frac33=\frac3{30}\\[5pt] P(X=1,Y=0)&=\frac6{10}\times\frac13=\frac6{30}\\[5pt] P(X=1,Y=1)&=\frac6{10}\times\frac23=\frac{12}{30}\\[5pt] P(X=2,Y=0)&=\frac3{10}\times\frac23=\frac6{30}\\[5pt] P(X=2,Y=1)&=\frac3{10}\times\frac13=\frac3{30}\\[5pt] \end{align*}\]
(1)
| $X\backslash Y$ | 0 | 1 | 計 |
| 0 | $0$ | $\dfrac3{30}$ | $\dfrac1{10}$ |
| 1 | $\dfrac6{30}$ | $\dfrac{12}{30}$ | $\dfrac35$ |
| 2 | $\dfrac6{30}$ | $\dfrac3{30}$ | $\dfrac3{10}$ |
| 計 | $\dfrac25$ | $\dfrac35$ | $1$ |
(2)
| $X$ | 0 | 1 | 2 | 計 |
| $P$ | $\dfrac1{10}$ | $\dfrac35$ | $\dfrac3{10}$ | $1$ |
(3)
| $Y$ | 0 | 1 | 計 |
| $P$ | $\dfrac25$ | $\dfrac35$ | $1$ |
4.2 確率変数の和の期待値
確率変数 $X,Y$ の確率分布が次のようであるとする．
| $X$ | $x_1$ | $x_2$ | 計 |
| $P$ | $p_1$ | $p_2$ | $1$ |
| $Y$ | $y_1$ | $y_2$ | 計 |
| $P$ | $q_1$ | $q_2$ | $1$ |
そして，$X,Y$ の同時分布が次のようであるとする．
| $X\backslash Y$ | $y_1$ | $y_2$ | 計 |
| $x_1$ | $p_{11}$ | $p_{12}$ | $p_1$ |
| $x_2$ | $p_{21}$ | $p_{22}$ | $p_2$ |
| 計 | $q_1$ | $q_2$ | $1$ |
このとき，確率変数 $Z$ を $Z=X+Y$ とすると，
\[Z=x_i+y_j\ \ (i,j=1,2)\]
であり，$Z$ のとる値は
\[x_1+y_1,\ x_1+y_2,\ x_2+y_1,\ x_2+y_2\]
の4つで，確率は上の同時分布から次のようになる．
| $Z$ | $x_1+y_1$ | $x_1+y_2$ | $x_2+y_1$ | $x_2+y_2$ | 計 |
| $P$ | $p_{11}$ | $p_{12}$ | $p_{21}$ | $p_{22}$ | $1$ |
従って $Z$ の期待値は
よって，$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$，すなわち
「和の期待値＝期待値の和」
が成り立つ．これは2つの確率変数について常に成り立つ重要な性質である．
ここでは確率変数 $X, Y$ のとる値はそれぞれ2つずつであったが，一般に $X$ のとる値が $x_1,x_2,\cdots,x_n$ の $n$ 個であり， $Y$ のとる値が $y_1,y_2,\cdots,y_m$ の $m$ 個であっても成り立つ．(発展的補足参照)
また，1節で見たように，$E(aX+b)=aE(X)+b$ であったから，次の2つの式を公式として挙げておく．
確率変数の和の期待値 $a,b$ が定数のとき，確率変数 $X,Y$ について次が成り立つ． \[\begin{align*} &[1]\ \ E(X+Y)=E(X)+E(Y)\\[5pt] &[2]\ \ E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y) \end{align*}\]
発展的補足
$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$ は，$X$ のとる値が $x_1,x_2,\cdots,x_n$ の $n$ 個， $Y$ のとる値が $y_1,y_2,\cdots,y_m$ の $m$ 個である場合にも成り立つ．そのことを以下に示す．
確率変数 $X,Y$ の同時分布が次のようであるとする．
| $X\backslash Y$ | $y_1\hspace{6mm}y_2\ \ \ \ \cdots\ \ \ y_j\ \ \ \ \cdots\ \ \ y_m$ | 計 |
| $x_1$ | $p_{11}\hspace{5mm}p_{12}\ \ \ \cdots \ \ \ p_{1j}\ \ \ \cdots \ \ \ p_{1m}$ | $p_1$ |
| $x_2$ | $p_{21}\hspace{5mm}p_{22}\ \ \ \cdots \ \ \ p_{2j}\ \ \ \cdots \ \ \ p_{2m}$ | $p_2$ |
| $\vdots$ | $\hspace{9mm}\vdots$ | $\vdots$ |
| $x_i$ | $p_{i1}\hspace{5mm}p_{i2}\ \ \ \cdots \ \ \ p_{ij}\ \ \ \cdots \ \ \ p_{im}$ | $p_i$ |
| $\vdots$ | $\hspace{9mm}\vdots$ | $\vdots$ |
| $x_n$ | $p_{n1}\hspace{5mm}p_{n2}\ \ \ \cdots \ \ \ p_{nj}\ \ \ \cdots \ \ \ p_{nm}$ | $p_n$ |
| 計 | $q_1\hspace{6mm}q_2\ \ \ \ \cdots \ \ \ q_j\ \ \ \ \cdots \ \ \ q_m$ | 1 |
このとき，
\[\begin{align*} E(X+Y)&=\sum_{i=1}^n\left\{\sum_{j=1}^m(x_i+y_j)p_{ij}\right\}\\[5pt] &=\sum_{i=1}^n\left\{\sum_{j=1}^m (x_i\,p_{ij}+y_j\,p_{ij})\right\}\\[5pt] &=\sum_{i=1}^n\left(\sum_{j=1}^m x_i\,p_{ij}\right)+\sum_{i=1}^n\left(\sum_{j=1}^my_j\,p_{ij}\right)\\[5pt] &=\sum_{i=1}^n\left(x_i\underline{\sum_{j=1}^m p_{ij}}_{\mbox{①}}\right)+\underline{\sum_{i=1}^n\left(\sum_{j=1}^my_j\,p_{ij}\right)}_{\mbox{②}} \end{align*}\]
ここで
①$=p_{i1}+p_{i2}+\cdots+p_{im}=p_i$
であり，また
\[\begin{align*} \mbox{②}&=\sum_{j=1}^m\left(\sum_{i=1}^n y_j\,p_{ij}\right)\\[5pt] &=\sum_{j=1}^m\left(y_j\sum_{i=1}^n p_{ij}\right)\\[5pt] &=\sum_{j=1}^m y_j q_j\\[5pt] \end{align*}\]
となるから結局
\[\begin{align*} E(X+Y)&=\sum_{i=1}^n x_i\,p_i+\sum_{j=1}^m y_j\,q_j\\[5pt] &=E(X)+E(Y) \end{align*}\]
■
例題 1円玉2枚と5円玉2枚を同時に投げるとき，表の面が出た硬貨の合計金額を $Z$ 円とする．$Z$ の期待値を求めよ．
答
1円玉，5円玉の表が出る枚数をそれぞれ $X,Y$ とすると，$X,Y$ はともに0,1,2 をとる確率変数で，期待値(平均)はそれぞれ
\[\begin{align*} E(X)&=0\cdot\frac14+1\cdot\frac24+2\cdot\frac14=1\\[5pt] E(Y)&=0\cdot\frac14+1\cdot\frac24+2\cdot\frac14=1 \end{align*}\]
となるから，
\[\begin{align*} E(Z)&=E(1X+5Y)\\[5pt] &=1E(X)+5E(Y)\\[5pt] &=1\cdot1+5\cdot1\\[5pt] &=6 \end{align*}\]
補足
「和の期待値＝期待値の和」の公式を使わなければ
\[\begin{align*} E(Z)&=0\cdot\frac1{16}+1\cdot\frac2{16}+2\cdot\frac1{16}\\[5pt] &\hspace{5mm}+5\cdot\frac2{16}+6\cdot\frac4{16}+7\cdot\frac2{16}\\[5pt] &\hspace{10mm}+10\cdot\frac1{16}+11\cdot\frac2{16}+12\cdot\frac1{16}\\[5pt] &=\frac{0+2+2+10+24+14+10+22+12}{16}\\[5pt] &=\frac{96}{16}\\[5pt] &=6 \end{align*}\]
という具合になり，かなりしんどい思いをさせられる．
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