4．確率変数の和と期待値(ノート)｜スライドで学ぶ高校数学

高校数学[総目次]

数学B　第3章　統計的な推測

4．確率変数の和と期待値

4.1　同時分布

　確率変数 $X,Y$ について，$X=a$ かつ $Y=b$ である確率を

$$P(X=a,Y=b)$$

と表す．

　2つの確率変数 $X, Y$について，

　　$X$ のとる値：$x_1,x_2,\cdots,x_n$ の $n$ 個
　　$Y$ のとる値：$y_1,y_2,\cdots,y_m$ の $m$ 個

であるとし，$P(X=x_i,Y=y_j)$ を $p_{ij}$ で表すとき，次の表のようにまとめることができる：

　このように，2数の組 $(x_i,\ y_j)$ と確率 $p_{ij}$ の対応を $X$ と $Y$ の同時分布または同時確率分布(joint probability distribution)という．

　また，$x_i\ \ (i=1,2,\cdots,n)$ について，$P(X=x_i)$ というのは，上の表で横に足していった合計となる：

$$\begin{align*} P(X=x_i)&=p_{\,i1}+p_{\,i2}+\cdots+p_{\,i\,m}\\[5pt] &=p_i \end{align*}$$

　従って，確率変数 $X$ の分布は次のようになる：

　同様にして，$y_j\ \ (j=1,2,\cdots,m)$ について，$P(Y=y_j)$ というのは，上の表で縦に足していった合計となる：

$$\begin{align*} P(Y=y_j)&=p_{1j}+p_{2j}+\cdots+p_{nj}\\[5pt] &=q_j \end{align*}$$

　従って，確率変数 $Y$ の分布は次のようになる：

　これら $X, Y$ のそれぞれの確率分布を周辺分布または周辺確率分布(marginal probability distribution)という．

例題　赤玉3個と白玉2個の合計5個が入った袋から，Aがまず2個取り出し，玉を元に戻さず，次にBが1個取り出す．AとBが取り出した赤玉の個数をそれぞれ $X, Y$ とするとき，次の各問いに答えよ．
（1）　$X$ と $Y$ の同時分布を求めよ．
（2）　$X$ の周辺分布を求めよ．
（3）　$Y$ の周辺分布を求めよ．

4.2　確率変数の和の期待値

　確率変数 $X,Y$ の確率分布が次のようであるとする．

　そして，$X,Y$ の同時分布が次のようであるとする．

　このとき，確率変数 $Z$ を $Z=X+Y$ とすると，

$$Z=x_i+y_j\ \ (i,j=1,2)$$

であり，$Z$ のとる値は

$$x_1+y_1,\ x_1+y_2,\ x_2+y_1,\ x_2+y_2$$

の4つで，確率は上の同時分布から次のようになる．

　従って $Z$ の期待値は

よって，$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$，すなわち

「和の期待値＝期待値の和」

が成り立つ．これは2つの確率変数について常に成り立つ重要な性質である．

　ここでは確率変数 $X, Y$ のとる値はそれぞれ2つずつであったが，一般に $X$ のとる値が $x_1,x_2,\cdots,x_n$ の $n$ 個であり， $Y$ のとる値が $y_1,y_2,\cdots,y_m$ の $m$ 個であっても成り立つ．(発展的補足参照)

　また，1節で見たように，$E(aX+b)=aE(X)+b$ であったから，次の2つの式を公式として挙げておく．

確率変数の和の期待値 　$a,b$ が定数のとき，確率変数 $X,Y$ について次が成り立つ． $$\begin{align*} &[1]\ \ E(X+Y)=E(X)+E(Y)\\[5pt] &[2]\ \ E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y) \end{align*}$$

発展的補足

　$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$ は，$X$ のとる値が $x_1,x_2,\cdots,x_n$ の $n$ 個， $Y$ のとる値が $y_1,y_2,\cdots,y_m$ の $m$ 個である場合にも成り立つ．そのことを以下に示す．

　確率変数 $X,Y$ の同時分布が次のようであるとする．

　このとき，

$$\begin{align*} E(X+Y)&=\sum_{i=1}^n\left\{\sum_{j=1}^m(x_i+y_j)p_{ij}\right\}\\[5pt] &=\sum_{i=1}^n\left\{\sum_{j=1}^m (x_i\,p_{ij}+y_j\,p_{ij})\right\}\\[5pt] &=\sum_{i=1}^n\left(\sum_{j=1}^m x_i\,p_{ij}\right)+\sum_{i=1}^n\left(\sum_{j=1}^my_j\,p_{ij}\right)\\[5pt] &=\sum_{i=1}^n\left(x_i\underline{\sum_{j=1}^m p_{ij}}_{\mbox{①}}\right)+\underline{\sum_{i=1}^n\left(\sum_{j=1}^my_j\,p_{ij}\right)}_{\mbox{②}} \end{align*}$$

　ここで

①$=p_{i1}+p_{i2}+\cdots+p_{im}=p_i$

であり，また

$$\begin{align*} \mbox{②}&=\sum_{j=1}^m\left(\sum_{i=1}^n y_j\,p_{ij}\right)\\[5pt] &=\sum_{j=1}^m\left(y_j\sum_{i=1}^n p_{ij}\right)\\[5pt] &=\sum_{j=1}^m y_j q_j\\[5pt] \end{align*}$$

　となるから結局

$$\begin{align*} E(X+Y)&=\sum_{i=1}^n x_i\,p_i+\sum_{j=1}^m y_j\,q_j\\[5pt] &=E(X)+E(Y) \end{align*}$$

■

例題　1円玉2枚と5円玉2枚を同時に投げるとき，表の面が出た硬貨の合計金額を $Z$ 円とする．$Z$ の期待値を求めよ．

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