3．確率変数の変換(ノート)｜スライドで学ぶ高校数学

数学B　第3章　統計的な推測

	スライド	ノート	問題
1. 確率変数と確率分布
2. 確率変数の期待値と分散
3. 確率変数の変換
4. 確率変数の和と期待値
5. 独立な確率変数と期待値・分散
6. 二項分布
7. 正規分布
8. 母集団と標本			[会員]
9. 推定
10. 仮説検定

3．確率変数の変換

3.1　確率変数の変換

　「数学Ⅰ データの分析」で出てきた変量の変換を，確率変数まで拡張する．

　例えば，さいころを1回投げて出た目を $X$ とする．$X$ は次の分布に従う確率変数である．

$X$	1	2	3	4	5	6	計
$P$	$\dfrac16$	$\dfrac16$	$\dfrac16$	$\dfrac16$	$\dfrac16$	$\dfrac16$	1

確率変数 $X$ の確率分布

　ここで，出た目によって得られる得点 $Y$ を $Y=2X-1$ によって定める．すると $Y$ はさいころを1回投げるという試行によって定まる変数であるから確率変数であり，その分布は次のようになっている．

$Y$	1	3	5	7	9	11	計
$P$	$\dfrac16$	$\dfrac16$	$\dfrac16$	$\dfrac16$	$\dfrac16$	$\dfrac16$	1

確率変数 $Y$ の確率分布

　このとき，$Y$ の期待値 $E(Y)$ を定義通り計算することもできるが，実はそのようにしなくても $X$ の期待値さえわかれば $Y$ の期待値は簡単に計算できるのである．

　この節では確率変数 $X$ に対して $a,b$ を定数として $Y=aX+b$ という関係を持つ $Y$ について，$Y$ の期待値が $X$ の期待値を用いてどのように表されるかを見ていく．

$1^\circ\ X$ のとる値が2個のとき

　まずは簡単のために，確率変数 $X$ のとる値は $x_1, x_2$ の2つとし，$X$ の従う分布が次のようであるとする．

$X$	$x_1\hspace{5mm}x_2 $	計
$P$	$p_1\hspace{5mm}p_2 $	1

確率変数 $X$ の確率分布

　次に $a,\ b$ を実数として $Y=aX+b$ で $Y$ を定めると，試行の結果によって $X$ の値が定まれば，$Y=aX+b$ により $Y$ の値も定まるから $Y$ も確率変数である．しかも $Y$ に付随する確率は $X$ のものと同じであるから，確率変数 $Y$ は次の分布に従う．

$X$	$x_1\hspace{10mm}x_2 $	計
$Y$	$ax_1+b\hspace{5mm}ax_2+b $
$P$	$p_1\hspace{10mm}p_2 $	1

確率変数 $Y$ の確率分布

　よって $Y$ の期待値，分散，標準偏差は次のようになる．

期待値

\[\begin{align*} E(Y)&=(ax_1+b)p_1+(ax_2+b)p_2\\[5pt] &=a(x_1p_1+x_2p_2)+b(p_1+p_2)\\[5pt] &=aE(X)+b\cdot1\\[5pt] &=aE(X)+b \end{align*}\]

分散

\[\begin{align*} E(Y^2)&=(ax_1+b)^2p_1+(ax_2+b)^2p_2\\[5pt] &=(a^2{x_1}^2+2abx_1+b^2)p_1+(a^2{x_2}^2+2abx_2+b^2)p_2\\[5pt] &=a^2\left({x_1}^2p_1+{x_2}^2p_2\right)+2ab(x_1p_1+x_2p_2)+b^2(p_1+p_2)\\[5pt] &=a^2E(X^2)+2abE(X)+b^2 \end{align*}\]

　よって

\[\begin{align*} V(Y)&=E(Y^2)-\{E(Y)\}^2\\[5pt] &=\{a^2E(X^2)+2abE(X)+b^2\}-\{aE(X)+b\}^2\\[5pt] &=\{a^2E(X^2)+2abE(X)+b^2\}-\bigl[a^2\{E(X)\}^2+2abE(X)+b^2\bigr]\\[5pt] &=a^2\bigl[E(X^2)-\{E(X)\}^2\bigr]\\[5pt] &=a^2V(X) \end{align*}\]

標準偏差

\[\begin{align*} \sigma(Y)&=\sqrt{a^2V(X)}\\[5pt] &=|a|\sqrt{V(X)}\\[5pt] &=|a|\,\sigma(X) \end{align*}\]

$2^\circ\ X$ のとる値が $n$ 個のとき

　確率変数 $X$ のとる値が2つの場合がわかれば $n$ 個の場合も全く同様である．

　一般に，確率変数 $X$ が次の分布に従うとする．

$X$	$x_1\hspace{5mm}x_2\ \ \ \cdots\ \ \ x_n$	計
$P$	$p_1\hspace{5mm}p_2\ \ \ \cdots \ \ \ p_n$	1

　このとき，$a,b$ を定数として，$Y=aX+b$ という関係を持つ $Y$ を考えると，試行の結果によって $X$ の値が定まれば，$Y=aX+b$ により $Y$ の値も定まるから $Y$ も確率変数である．しかも $Y$ に付随する確率は $X$ のものと同じであるから，確率変数 $Y$ は次の分布に従う．

$Y$	$y_1\hspace{5mm}y_2\ \ \ \cdots\ \ \ y_n$	計
$P$	$p_1\hspace{5mm}p_2\ \ \ \cdots \ \ \ p_n$	1

　このとき，確率変数 $Y$ の期待値，分散，標準偏差は次のようになる．

期待値

\[\begin{align*} E(Y)&=\sum_{k=1}^ny_k\,p_k\\[5pt] &=\sum_{k=1}^n (ax_k+b)p_k\\[5pt] &=a\sum_{k=1}^n x_k\,p_k+b\sum_{k=1}^n p_k\\[5pt] &=aE(X)+b \end{align*}\]

分散

\[\begin{align*} E(Y^2)&=\sum_{k=1}^n{y_k}^2\,p_k\\[5pt] &=\sum_{k=1}^n (ax_k+b)^2p_k\\[5pt] &=\sum_{k=1}^n (a^2{x_k}^2+2abx_k+b^2)p_k\\[5pt] &=a^2\sum_{k=1}^n {x_k}^2\,p_k+2ab\sum_{k=1}^n x_k\,p_k+b^2\sum_{k=1}^n p_k\\[5pt] &=a^2E(X^2)+2abE(X)+b^2 \end{align*}\]

　よって，

\[\begin{align*} V(Y)&=E(Y^2)-\{E(Y)\}^2\\[5pt] &=(a^2E(X^2)+2abE(X)+b^2)-(aE(X)+b)^2\\[5pt] &=(a^2E(X^2)+2abE(X)+b^2)-\bigl[a^2\{E(X)\}^2+2abE(X)+b^2\bigr]\\[5pt] &=a^2(E(X^2)-\{E(X)\}^2)\\[5pt] &=a^2V(X) \end{align*}\]

標準偏差

\[\begin{align*} \sigma(Y)&=\sqrt{a^2V(X)}\\[5pt] &=|a|\sqrt{V(X)}\\[5pt] &=|a|\,\sigma(X) \end{align*}\]

まとめ　$a,b$ は定数とする．確率変数 $X$ について， \[\begin{align*} E(aX+b)&=aE(X)+b\\[5pt] V(aX+b)&=a^2\,V(X)\\[5pt] \sigma(aX+b)&=|a|\,\sigma(X) \end{align*}\]

補足

　$V(aX+b)=a^2V(X)$ において，$a=0$ の特別な場合を考えると，$V(b)=0$ となる．分散はばらつき具合を表すものであるから，定数のばらつきが0であるというのは納得しやすい．

3.2　確率変数の標準化

　期待値が $m$，標準偏差が $s$ である確率変数 $X$ について，

\[Z=\frac{X-m}s\]

で変換した確率変数 $Z$ を考えると，$Z$ の期待値と標準偏差は次のようになる：

\[\begin{align*} E(Z)&=E\left(\frac{X-m}s\right)\\[5pt] &=E\left(\frac 1sX-\frac ms\right)\\[5pt] &=\frac1s E(X)-\frac ms\\[5pt] &=\frac ms-\frac ms\\[5pt] &=0\\[5pt] \sigma(Z)&=\sigma\left(\frac{X-m}s\right)\\[5pt] &=\sigma\left(\frac 1sX-\frac ms\right)\\[5pt] &=\left|\frac1s\right|\sigma(X)\\[5pt] &=\frac1s\cdot s\ \ (\because s>0)\\[5pt] &=1 \end{align*}\]

　従って，確率変数 $Z$ は期待値(平均) 1，標準偏差 0 の確率変数である．

　このように，期待値が 0，標準偏差が 1 の確率変数に変換することを，確率変数の標準化という．

確率変数の標準化　確率変数 $X$ の期待値が $m$，標準偏差が $\sigma$ のとき， \[Z=\frac{X-m}\sigma\] によって得られる確率変数 $Z$ は，期待値が 0，標準偏差が 1 である．

補足

　標準偏差が 1 ということは，その2乗である分散も1である．よって期待値(平均)が０，分散が 1 の確率変数に変換することを標準化ということもある．

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