9. 隣接2項間漸化式その1(ノート)
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数学B　第2章　数列

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9. 隣接2項間漸化式（その1）

9.1　漸化式とは

　数列の各項の間に成り立つ関係(方程式)を漸化式(ぜんかしき）という．

例　$a_1=2$, $a_{n+1}=2a_n-1$ $(n=1,2,3,\cdots)$

$$\begin{align*} a_1&=2\\[5pt] a_2&=2a_1-1=3\\[5pt] a_3&=2a_2-1=5\\[5pt] a_4&=2a_3-1=9\\[5pt] &\vdots \end{align*}$$

　　　　のような各項間の関係式を，(隣接2項間の)漸化式(ぜんかしき)という．これから様々なパターンの漸化式を扱っていく．いずれの場合も，与えられた漸化式から一般項を求めるというのが1つの目標となる．まず基本的な漸化式の形として次の3つのパターンを確認していく

漸化式の基本3パターン　①　階差数列型 $\bigl(a_{n+1}\!-\!a_n\!=\!f(n)\bigr)$
　②　等比数列型 $(a_{n+1}=ra_n)$
　③　一般型 $(a_{n+1}=pa_n+q)$

9.2 階差数列型 $\bigl(a_{n+1}\!-\!a_n\!=\!f(n)\bigr)$

　$f(n)$ を $n$ の関数とする．$a_{n+1}\!-\!a_n\!=\!f(n)$ で表された漸化式の左辺は，数列 $\{a_n\}$ の階差数列を表しており，右辺はその一般項が $n$ の式 $f(n)$ であることを表している．この $f(n)$ が定数である特別な場合と，そうでない一般の場合に分けて見ていこう．

[1]　$f(n)=$ (定数)
　　　　　→　$\{a_n\}$ は等差数列

　$f(n)=d$ (定数)とすると，漸化式は

$$a_{n+1}-a_n=d$$

となり，隣の項どうしの差が常に一定の $d$ であることを表している．これは数列 $\{a_n\}$ が公差 $d$ の等差数列であることを意味する．

例題　$a_1=2,\ a_{n+1}=a_n+3$ の一般項 $a_n$ を求めよ．

こたえ

　漸化式を変形すると， $a_{n+1}-a_n=3$

　これは数列 $\{a_n\}$ の階差数列である $\{a_{n+1}-a_n\}$ が常に定数3であることを表している．よって数列 $\{a_n\}$ は初項2で公差3の等差数列であるから

$$a_n=2+(n-1)\cdot3=\underline{\boldsymbol{3n-1}}$$

　次に，$f(n)$ が定数ではない一般のケースを見ていこう．

[2]　$f(n)\neq$ (定数)
　　　　　→　$a_n=a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}f(k)\ \ \ (n\geqq 2)$

　$f(n)$ が定数ではないとき，漸化式は

$$a_{n+1}-a_n=f(n)$$

となる．これは数列 $\{a_n\}$ の階差数列の一般項が $f(n)$ であることを表している．階差数列の一般項がわかれば，元の数列の一般項は計算できるのであった．(4. 階差数列 参照)．階差数列の和をとるときには「$n\geqq2$」の断り書きと，$n=1$ のチェックを忘れずに行う．

例題　$a_1=2,\ a_{n+1}=a_n+2n$ の一般項 $a_n$ を求めよ．

こたえ

　漸化式を変形すると， $a_{n+1}-a_n=2n$

　これは数列 $\{a_n\}$ の階差数列である $\{a_{n+1}-a_n\}$ の一般項が $2n$ であることを表している．

　よって，$n\geqq2$ のとき，
$$\begin{align*} a_n&=2+\sum_{k=1}^{n-1}2k\\[5pt] &=2+2\times\frac12(n-1)n\\[5pt] &=\underline{\boldsymbol{n^2-n+2}} \end{align*}$$

($n=1$ のときもこれでよい．)

9.3　等比数列型 $(a_{n+1}=ra_n)$

等比数列型の漸化式　$a_{n+1}=r\,a_n$　→　$\{a_n\}$ は公比 $r$ の等比数列

　この漸化式は，次の項である $a_{n+1}$ が前の項である $a_n$ の常に $r$ 倍であることを表しているから，数列 $\{a_n\}$ は公比 $r$ の等比数列であることを意味する．

例題　$a_1=2,\ a_{n+1}=-3a_n$ の一般項 $a_n$ を求めよ．

こたえ

　この漸化式から数列 $\{a_n\}$ は，次の項が前の項の常に$-3$ 倍 であることを表しているから，公比$-3$ の等比数列であることがわかる．
　よって　$\underline{\boldsymbol{a_n=2\cdot(-3)^{n-1}}}$

9.4　一般型 $(a_{n+1}=pa_n+q)$

　このタイプの漸化式は突き詰めると次のような形となっている．

　$(a_{n+1}=pa_n+q)$
　　　→　$a_n=Ap^{n-1}+B$ の形になる．

　この点については，次の節である10. 隣接3項間漸化式(その2) で詳細に説明する．まずは教科書で説明されている内容を詳しく見ていく．

例題　$a_1=2,\ a_{n+1}=2a_n+1$ の一般項 $a_n$ を求めよ．

　このタイプの漸化式は「上手い変形」を行って，等比数列型$(a_{n+1}=r\,a_n$)に帰着させるのが定石である．その「上手い変形」とは，定数 $c$ を用いて与えられた漸化式を

$$a_{n+1}-c=2(a_n-c)$$

というように表すことである．右辺のカッコの前の係数2は，与えられた漸化式の $a_n$ の係数である．一般には $a_{n+1}=pa_n+q$ の場合に $a_n$ の係数である $p$ がこれに相当する．何故この変形が「上手い変形」といえるのか．その理由は，数列 $\{a_n-c\}$ が公比 2 の等比数列であることを表しているからである．それではこのような都合の良い $c$ はどのように見つけることができるのだろうか．

　藪から棒だが，与えられた漸化式において，$a_{n+1}$ も $a_n$ も $c$ に置き換えた式を作って，与えられた漸化式から引いてみよう．

$$\begin{array}{rl} a_{n+1}\!\!\!\!&=2a_n+1\\[5pt] -)\ \ \ \ \ \ \boldsymbol{c}\!\!\!\!&\boldsymbol{=2c+1\ \cdots (\mbox{☆})}\\[5pt]\hline a_{n+1}-c\!\!\!\!&=2(a_n-c) \end{array}$$

　方程式 (☆) を解くと $c=-1$ であるから，これを引いた式に代入して

$$a_{n+1}+1=2(a_n+1)$$

　これで「上手い変形」ができた．この(☆)の方程式を，この漸化式の特性方程式という．

　ここで，$a_n+1=b_n$ とおくと，

$b_{n+1}=2b_n$　(←等比数列型)

　よって，数列 $\{b_n\}$ は初項 $b_1=a_1+1=3$，公比 $2$ の等比数列であるから， $$b_n=3\cdot2^{n-1}$$ 　$b_n$ を元に戻して， $$a_n+1=3\cdot2^{n-1}$$ $$\therefore \underline{\boldsymbol{a_n=3\cdot2^{n-1}-1}}$$

補足

　数列 $\{a_n\}$ の各項に1を加えて新しい数列 $\{b_n\}$ を作ってみると，

　　$\{a_n\}=\{2,5,11,23,47,\cdots\}$
　　　　　↓　＋１
　　$\{b_n\}=\{3,6,12,24,48,\cdots\}$
　　　　　初項3，公比2の等比数列
　このように，数列 $\{a_n\}$ 自体はよくわからないが，$\{a_n\}$ の各項に1を加えた数列 $\{b_n\}$ の方はわかり易い数列になっているという仕掛けである．

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