9. 隣接2項間漸化式その1(ノート)
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高校数学[総目次]

数学B　第2章　数列

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9. 隣接2項間漸化式（その1）

9.1　漸化式とは

　数列の各項の間に成り立つ関係(方程式)を漸化式(ぜんかしき）という．

例　$a_1=2$, $a_{n+1}=2a_n-1$ $ (n=1,2,3,\cdots)$

\[\begin{align*} a_1&=2\\[5pt] a_2&=2a_1-1=3\\[5pt] a_3&=2a_2-1=5\\[5pt] a_4&=2a_3-1=9\\[5pt] &\vdots \end{align*}\]

　　　　のような各項間の関係式を，(隣接2項間の)漸化式(ぜんかしき)という．

9.2 階差数列型 $\bigl(a_{n+1}\!-\!a_n\!=\!f(n)\bigr)$

[1]　$f(n)=$ (定数)
　　　　　→　$\{a_n\}$ は等差数列

例題　$a_1=2,\ a_{n+1}=a_n+3$ の一般項 $a_n$ を求めよ．

　　　　漸化式を変形すると， \[a_{n+1}-a_n=3\]

階差が常に3 → 公差3の等差数列

\[a_n=2+(n-1)\cdot3=\underline{\boldsymbol{3n-1}}\]

[2]　$f(n)\neq$ (定数)
　　　　　→　$a_n=a_1+\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1}f(k)\ \ \ (n\geqq 2)$

例題　$a_1=2,\ a_{n+1}=a_n+2n$ の一般項 $a_n$ を求めよ．

　　　　漸化式を変形すると， \[a_{n+1}-a_n=2n\]

階差の一般項が $\boldsymbol{2n}$

　　　　よって，$n\geqq2$ のとき， \[\begin{align*} a_n&=2+\sum_{k=1}^{n-1}2k\\[5pt] &=2+2\times\frac12(n-1)n\\[5pt] &=\underline{\boldsymbol{n^2-n+2}} \end{align*}\]

($n=1$ のときもこれでよい．)

9.3　等比数列型 $(a_{n+1}=ra_n)$

　$a_{n+1}=ra_n$
　　　　→　$\{a_n\}$ は等比数列

例題　$a_1=2,\ a_{n+1}=-3a_n$ の一般項 $a_n$ を求めよ．

　　　　次の項は常に$\boldsymbol{-3}$ 倍 → 公比$\boldsymbol{-3}$ の等比数列

　　　　　$\underline{\boldsymbol{a_n=2\cdot(-3)^{n-1}}}$

9.4　一般型 $(a_{n+1}=pa_n+q)$

　$(a_{n+1}=pa_n+q)$
　　　→　$a_n=Ap^{n-1}+B$ の形になる．

例題　$a_1=2,\ a_{n+1}=2a_n+1$ の一般項 $a_n$ を求めよ．

\[\begin{array}{rl} a_{n+1}\!\!\!\!&=2a_n+1\\[5pt] -)\ \ \ \ \ \ \boldsymbol{\alpha}\!\!\!\!&\boldsymbol{=2\alpha+1\ \cdots (\mbox{☆})}\\[5pt]\hline a_{n+1}-\alpha\!\!\!\!&=2(a_n-\alpha) \end{array}\] 　$(\mbox{☆})$ より $\alpha=-1$ であるから， \[a_{n+1}+1=2(a_n+1)\] 　ここで，$a_n+1=b_n$ とおくと， \[b_{n+1}=2b_n\] 　よって，数列 $\{b_n\}$ は初項 $b_1=a_1+1=3$，公比 $2$ の等比数列であるから， \[b_n=3\cdot2^{n-1}\] 　$b_n$ を元に戻して， \[a_n+1=3\cdot2^{n-1}\] \[\therefore \underline{\boldsymbol{a_n=3\cdot2^{n-1}-1}}\]

補足

1. $\{a_n\}=\{2,5,11,23,47,\cdots\}$
   　　　　　↓　＋１
   $\{b_n\}=\{3,6,12,24,48,\cdots\}$
   　　　初項3，公比2の等比数列
   　$\{a_n\}$ 自体はよくわからないが，$\{a_n\}$ の各項に1を加えた $\{b_n\}$ はわかり易い数列になっている．
2. 漸化式の $a_{n+1},\ a_n$ を $\alpha$ に置き換えた (☆) の式を漸化式の特性方程式という．

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