5. 数列の和と一般項(ノート)
スライドで学ぶ高校数学

高校数学[総目次]

数学B　第2章　数列

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5. 数列の和と一般項

5.1　和と一般項の関係

$$\begin{array}{rll} S_n&=a_1\!+\!a_2\!+\!\cdots\!+\!a_{n-1}\!+\!a_n&\\[5pt] -)\ S_{n-1}&=a_1\!+\!a_2\!+\!\cdots\!+\!a_{n-1}&(\gets n\geqq2)\\[5pt]\hline S_n-S_{n-1}&=\hspace{33mm}a_n& \end{array}$$

　また，$S_1=a_1$．

まとめ　数列$\{a_n\}$ の初項から第$n$項までの和を$S_n$とすると， $$\begin{align*}&a_1=S_1\\[5pt] &a_n=S_n-S_{n-1}\ \ (n\geqq 2)\end{align*}$$

補足

　$a_n=S_n-S_{n-1}\ (n\geqq2)$ で無理に $n=1$ とおくと， $$a_1=S_1-S_0$$ となるから，$n=1$ の場合が含まれるのは，$S_0=0$ のときである．

例題
　数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n=n^2+6n$ のとき，一般項 $a_n$ を求めよ．

答

　$a_1=S_1=7$

$$\begin{array}{rll} S_n&=n^2+6n&\\[5pt] -)\ S_{n-1}&=(n-1)^2+6(n-1)&(\gets n\geqq2)\\[5pt]\hline S_n-S_{n-1}&=2n+5& \end{array}$$

　$\therefore a_n=2n+5$　($n=1$ のときもこれでよい．)

　故に，$\underline{\boldsymbol{a_n=2n+5}}$

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