11．隣接3項間漸化式【演習問題】｜スライドで学ぶ高校数学

数学B　第2章　数列

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演習問題

　 $k$ を自然数， $0<\alpha<1$ とする．表が出る確率が $\alpha$ ，裏の出る確率が $1-\alpha$ のコインを投げて，最初，数直線の原点にあった点Pの位置を，表が出たら2だけ，裏が出たら1だけ右に進める．以降，移動した位置でコインを投げてこの操作を繰り返す． $n$ を自然数として，コインを $n$ 回投げるとき，1回目から $n$ 回目までのどこかで点Pの座標が $n$ となる確率を $p_n$ とおく．
(1)　 $p_1,\ p_2$ を求めよ．
(2)　 $n\geqq1$ に対して， $p_n$ を $n$ と $\alpha$ で表せ．

(大阪市立大・改題)

問題１【発展】

　 $k$ を自然数， $0<\alpha<1$ とする．表が出る確率が $\alpha$ ，裏の出る確率が $1-\alpha$ のコインを投げて，最初，数直線の原点にあった点Pの位置を，表が出たら2だけ，裏が出たら1だけ右に進める．以降，移動した位置でコインを投げてこの操作を繰り返す． $n$ を自然数として，コインを $n$ 回投げるとき，1回目から $n$ 回目までのどこかで点Pの座標が $n$ となる確率を $p_n$ とおく．
(1)　 $p_1,\ p_2$ を求めよ．
(2)　 $n\geqq1$ に対して， $p_n$ を $n$ と $\alpha$ で表せ．

(大阪市立大・改題)

　大阪市立大(2021)の問題です．
　漸化式の基本的な考え方は

最初か最後で場合分け

です．この問題では最初で場合分けするのが良いでしょう．また本問では $p_n$ の定義にも注意しましょう．「コインを $n$ 回投げるとき，1回目から $n$ 回目までのどこかで点Pの座標が $n$ となる確率」が $p_n$ です．

解答

(1)　 $p_1:$ 1回目に裏が出ればよいから　 $p_1=1-\alpha$

　 $p_2:$ 「1回目に表が出る」または「2回とも裏が出る」のいずれかであればよい．これら2つの事象は排反だから　 $p_2=\alpha+(1-\alpha)^2=\alpha^2-\alpha+1$

(2)　 $p_{n+2}$ を考えるのに，1回目が裏か表で場合分けをする． $p_{n+2}$ というのは「コインを $n+2$ 回投げるとき，1回目から $n+2$ 回目までのどこかで点Pの座標が $n+2$ となる確率」である．

1°　1回目が裏のとき

　1回目に裏が出て数直線上の1に進む．ここを新たな出発点として，残りの $n+1$ 回の操作のうちで， $n+1$ だけ右に進めばよいからその確率は $p_{n+1}$ である．

2°　1回目が表のとき

　1回目に表が出て数直線上の2に進む．ここを新たな出発点として，残りの $n+1$ 回の操作のうちで， $n$ だけ右に進めば $n+2$ に到達するが，1回の操作で少なくとも1は右に進むのだから，結局 $n$ 回のうちで $n$ だけ右に進めば $n+2$ に到達する．従ってその確率は $p_n$ である．

　1°，2°から

$p_{n+2}=(1-\alpha)p_{n+1}+\alpha p_n$

という漸化式が得られる．

ここで特性方程式 $x^2+(\alpha-1)x-\alpha=0$ を解くと， $(x+\alpha)(x-1)=0$ より $x=-\alpha,\ 1$ ．

　漸化式を2通りに変形して

$\left\{\begin{array}{ll} p_{n+2}+\alpha\, p_{n+1}=p_{n+1}+\alpha\, p_n&\cdots\mbox{①}\\[5pt] p_{n+2}-p_{n+1}=-\alpha(p_{n+1}-p_n)&\cdots\mbox{②} \end{array}\right.$

　①より，数列 $\{p_n+\alpha\, p_{n-1}\}$ は定数数列であるから

$\begin{align*} p_n+\alpha\, p_{n-1}&= p_2+\alpha\, p_1\\[5pt] &=(\alpha^2-\alpha+1)+\alpha(1-\alpha)\\[5pt] &=1 \end{align*}$

$\therefore p_n+\alpha\, p_{n-1}=1$ …③

　②より，数列 $\{p_n-p_{n-1}\}$ は初項 $p_2-p_1=(\alpha^2-\alpha+1)-(1-\alpha)=\alpha^2$ ，公比 $-\alpha$ の等比数列であるから $p_n-p_{n-1}=\alpha^2\cdot(-\alpha)^{n-1}=(-\alpha)^{n+1}$

$\therefore p_n-p_{n-1}=(-\alpha)^{n+1}$ …④

　③－④から　 $(\alpha+1)p_n=1-(-\alpha)^{n+1}$

$\therefore\ \underline{p_n=\frac{1-(-\alpha)^{n+1}}{1+\alpha}}$