10. 隣接2項間漸化式その2(ノート)
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高校数学[総目次]

数学B　第2章　数列

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10. 隣接2項間漸化式その2

10.1　一般型の発展的な考え方

　$a_{n+1}=pa_n+q$ 型の一般項は，

\[a_n=Ap^{n-1}+B\]

の形になる．更に $B$ は，特性方程式 $\alpha=p\alpha+q$ の解となるから，残るは $A$ のみ．しかし $A$ は $a_1$ から簡単に求まる．

　9.4節の例題($a_1=2,\ a_{n+1}=2a_n+1$ )で考えると， \[a_n=A\cdot2^{n-1}-1\] 　$a_1=2$ より， \[A\cdot2^0-1=2\ \ \therefore A=3\] 　よって一般項は， \[\underline{\boldsymbol{a_n=3\cdot2^{n-1}-1}}\]

　これを逆手に取って，次のような答案を作ることもできる：

解答例

　$x=2x+1$ の解を $\alpha\ (=-1)$ とし， \[b_n=A\cdot2^{n-1}+\alpha\] すなわち，$b_n=A\cdot2^{n-1}-1$ を作ると， \[\begin{align*} b_{n+1}&=A\cdot2^n-1\\[5pt] &=2(\underline{A\cdot2^{n-1}-1})+1\\[5pt] &\ \ \ \ \ \ \ \ (\uparrow\mbox{無理矢理 } b_n \mbox{を作った})\\[5pt] &=2b_n+1 \end{align*}\] となって，$\{b_n\}$ は $\{a_n\}$ と同じ漸化式を満たす．（つまり，数列の生成過程が全くの同一であるということ．）
　その上，初項まで同じであると，すべての $n$ で $a_n=b_n$ が成り立つ．よって $b_1=a_1$ より， \[A-1=2\ \therefore A=3\] 　故に，$\underline{\boldsymbol{a_n}}(=b_n)\underline{\boldsymbol{=3\cdot2^{n-1}-1}}$

10.2　分数型 $\left(a_{n+1}=\dfrac{pa_n+q}{ra_n+s}\right)$

$\boldsymbol{a_{n+1}=\dfrac{pa_n+q}{ra_n+s}}$ 型の漸化式

解法の手順
(下準備) $x=\dfrac{px+q}{rx+s}$ の解 $\alpha, \beta$ を求める．
　↓
$a_{n+1}-\alpha$ または $a_{n+1}-\beta$ を調べる．
　↓
逆数をとる．

例題　$a_1=2,\ a_{n+1}=2-\dfrac1{a_n}$ の一般項 $a_n$ を求めよ．

(下準備)
　漸化式の右辺を通分すると \[\begin{align*} a_{n+1}&=\frac{2a_n-1}{a_n}\ \gets\ \boldsymbol{a_{n+1}=\dfrac{pa_n+q}{ra_n+s}}\mbox{型}\\[5pt] \to\ \ \ \ \ x&=\frac{2x-1}x\\[5pt] x^2&-2x+1=0\\[5pt] \therefore x&=1\ \ (\mbox{重解}) \end{align*}\] (下準備ここまで)

\[a_{n+1}-1=\left(2-\dfrac1{a_n}\right)-1=\dfrac{a_n-1}{a_n}\] $\therefore a_{n+1}-1=\dfrac{a_n-1}{a_n}\ \cdots$ ①

であり，初項と漸化式よりすべての $n$ で $a_n\neq1$ であるから，$a_n-1\neq0$．
　よって，①の両辺の逆数をとって， \[\begin{align*} \frac1{a_{n+1}-1}&=\frac{a_n}{a_n-1}\\[5pt] \therefore \frac1{a_{n+1}-1}&=\frac1{a_n-1}+1 \end{align*}\] 　ここで，$b_n=\dfrac1{a_n-1}$ とおくと，数列 $\{b_n\}$ は初項 $\dfrac1{a_1-1}=1$，公差 $1$ の等差数列であるから， \[\begin{align*} \frac1{a_n-1}&=n\\[5pt] \therefore a_n-1&=\frac1n\\[5pt] \end{align*}\]

\[\therefore \underline{\boldsymbol{a_n=\frac{n+1}n}}\]

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