等差数列(一般項と和の公式)｜スライドで学ぶ高校数学

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数学B　第2章　数列

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1. 等差数列

1.0 数列とは

　数が並んだものを数列という．とにかく数が並んでさえいれば何でも数列といえるのであるが，ここではその列に一定の規則があるものだけを対象とする．例えば，

2, 4, 6, □, 10, 12, …

という数列があったとすれば，□に入る数が8であるとわかるであろう．このような簡単な規則の数列から始めて，もっと複雑なものまで様々な数列を考えていくことになる．高校数学ではまず最も基本となる2つの数列から始める．それはこの後すぐに学ぶ等差数列と，次節で学ぶ等比数列である．それでは等差数列から見ていくとしよう．

1.1 等差数列とは

　　ある数に一定の数を次々と加えていくことで得られる数列を等差数列という．あるいは読んで字の如く隣りどうしの「差が等しい数列」が等差数列である．

等差数列とはある数に一定の数を次々と加えていくことで得られる数列

例えば，

2, 5, 8, 11, 14

という数列は，2から始めて一定の数3を次々と加えていくことで得られた数列である．あるいは隣り合う2数の差が等しく常に3である数列である．従ってこの数列は等差数列である．

　ここで数列の用語を確認しておく．

　上の例では5つの数が並んでいるが，これら1つ1つの数を数列の項(こう)という．先頭から順に第1項，第2項，第3項，…という．特に第1項を初項(しょこう)，最後の項を末項(まっこう)という．また，この数列では次々と3が加えられているが，この次々と加えていく一定の数を公差(こうさ)という．従ってこの数列は「初項2，公差3の等差数列」という言い方をする．

補足

　数列を「 $a$ 」などと名付け，各項を $a_n$ という具合に添え字で区別する．例えば， $a_1=2$ ， $a_2=5$ など．数列そのものを表す場合は， $\{a_n\}$ のように中カッコ{ }を付けて表す．数列が順序付けされた数の集合であり，集合は中カッコを用いて表されたと理解しておけばよいであろう．

　　 $\ \ \ \ a_n=2,5,8,11,14$
　　 $\{a_n\}=\{2,5,8,11,14\}$

1.2 等差数列の一般項

　先に見た数列 2, 5, 8, 11, 14 は，第 $n$ 項を $3n-1$ と書き表すことができる．このように，第 $n$ 項を $n$ の式で表したものを，その数列の一般項という．この数列の場合「一般項は $3n-1$ である」という言い方ができる．

数列の第 $n$ 項を， $n$ で表した式のこと

　初項 $a$ ，公差 $d$ である等差数列 $\{a_n\}$ について，一般項を考えてみよう．初項からいくつか書き出すと，

$\begin{align*} a_1&=a\hspace{9mm}=a+0d\\[5pt] a_2&=a_1+d=a+1d\\[5pt] a_3&=a_2+d=a+2d\\[5pt] a_4&=a_2+d=a+3d\\[5pt] &\vdots \end{align*}$

　ここまでの例で十分に等差数列の一般項が予測できる．どの項も初項 $a$ に， $d$ の何倍かが加えられている．それは「(自分の番号) $-1$ 」の数である．従って初項 $a$ ，公差 $d$ の等差数列の一般項は次のようになる：

　初項 $a$ ，公差 $d$ の等差数列 $\{a_n\}$ の一般項は， $a_n=a+(n-1)d$

　初項2，公差3の等差数列 $\{a_n\}$ の一般項は， $a_n=2+(n-1)\times3\ \therefore a_n=3n-1$

1.3 等差数列の和

　先ほどから用いている等差数列 2, 5, 8, 11, 14の和を計算すると

$2+5+8+11+14=40$

となる．問題はこれをどう計算したかである．2＋5＝7，7＋8＝15，15＋11＝26，26＋14＝40という風に前から順に計算してももちろん求まる．しかしここでは計算の工夫をしておきたい．求めたい和を $S$ とすると， $S=2+5+8+11+14$ であるが，これを逆順に書いて $S=14+11+8+5+2$ としても良い．足し算なのだから計算の順序は自由である．この2つの式を縦に並べて，上下2つずつ足し算を行う：

$\begin{array}{rcl} S&=&2+5+8+11+14\\[5pt] +)\ \ \ S&=&14+11+8+5+2\\[5pt] \hline 2S&=&16+16+16+16+16 \end{array}$

　最後の式の右辺は，16が5回足されているから

$2S=16\times5\ \ \therefore S=40$

　このように，足す順序を逆転させたのち，上下に2つずつ足すことで，同じ数(ここでは16)を項数(ここでは5)だけ掛ければ，知りたい和 $S$ の2倍が得られるのである．あとは $2S=80$ から両辺を2で割って $S=40$ と計算できる．

　一般の場合もこのように計算することで，等差数列の和の公式を作ることができる．

　初項 $a$ ，公差 $d$ である等差数列の，初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とする．また，第 $n$ 項を $l$ とする．

$\begin{array}{rl} S_n\!=\!\!\!\!\!&a\!+\!(a\!+\!d)\!+\!(a\!+\!2d)\!+\!\cdots\!+\!(l\!-\!2d)\!+\!(l\!-\!d)\!+\!l\\[5pt] +)\ S_n\!=\!\!\!\!\!&l\!+\!(l\!-\!d)\!+\!(l\!-\!2d)\!+\!\cdots\!+\!(a\!+\!2d)\!+\!(a\!+\!d)\!+\!a\\[5pt] \hline 2S_n\!=\!(a\!\!\!\!\!\!&+l)\!+\!(a\!+\!l)\!+\!(a\!+\!l)\!+\!\cdots\!+\!(a\!+\!l)\!+\!(a\!+\!l)\!+\!(a\!+\!l) \end{array}$

　右辺には $n$ 個の $a+l$ があるから， $2S_n=n(a+l)$

$S_n=\dfrac12n(a+l)$

　また，末項 $l$ が第 $n$ 項だとすれば， $l=a+(n-1)d$ であるから，上の式に代入して

$S_n=\dfrac12n\{2a+(n-1)d\}$

とも表せる．

　初項 $a$ ，公差 $d$ の等差数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項（ $=l$ とする）までの和 $S_n$ は， $\begin{align*}S_n&=\frac12n(a+l)\\[5pt] &=\frac12n\{2a+(n-1)d\}\end{align*}$

　初項2，公差3の等差数列の，初項から第5項までの和 $2+5+8+11+14$ は， $S_5=\frac12\cdot5(2+14)=\underline{\boldsymbol{40}}$ 　　　または， $S_5=\frac12\cdot5\{2\cdot2+(5-1)\cdot3\}==\underline{\boldsymbol{40}}$

　 $S_n=1+3+5+\cdots+(2n-1)$
　　　(奇数 $n$ 個の和)

　初項1，末項 $2n-1$ ，項数 $n$ の等差数列の和
$S_n=\frac12\cdot n\{1+(2n-1)\}=\underline{\boldsymbol{n^2}}$

　この奇数 $n$ 個の和はよく使う上に，形がきれいであるから公式として記憶しておこう．

　初項 $1$ ，公差 $2$ の等差数列（奇数の列）の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ は， $S_n=1+3+5+\cdots+(2n-1)=n^2$

1.4 等差数列の性質

等差中項の関係式

　等差数列の連続する3つの項があるとき，真ん中の項を等差中項という．例えば等差数列2，5，8の等差中項は5である．数列 $a,\ b,\ c$ が等差数列のとき， $b-a=c-b$ から $2b=a+c$ が得られる．逆に3つの数 $a,\ b,\ c$ に $2b=a+c$ の関係があるとき，今の計算の逆をたどることにより， $a,\ b,\ c$ は等差数列である．よって次の関係が導かれる．

数列 $a,\ b,\ c$ が等差数列 $\iff 2b=a+c$

補足1

　上と同様にして「数列 $c,\ b,\ a$ が等差数列 $\iff2b=a+c$ 」がいえるから，数列 $a,\ b,\ c$ が等差数列であることと数列 $c,\ b,\ a$ が等差数列であることは同値である．

補足2

　 $b=\dfrac{a+c}2$ となるから，等差中項は前後2項の相加平均である．

等差数列であることを証明せよといわれたら

　次の例題を考えてみよう．

例題　2つの数列 $\{a_n\},\ \{b_n\}$ がともに等差数列であるとき，数列 $\{5a_n-2b_n\}$ も等差数列であることを示せ．

　数列 $\{a_n\}$ が初項 $a$ ，公差 $d$ の等差数列ならば， $a_n=a+(n-1)d$ と表せる．逆に数列 $\{a_n\}$ が $a_n=a+(n-1)d$ と表されているならば， $\{a_n\}$ は初項 $a$ ，公差 $d$ の等差数列である．従って

　数列 $\{a_n\}$ について，この数列が初項 $a$ ，公差 $d$ の等差数列であることと，一般項が $a_n=a+(n-1)d$ と表せることは同値

である．しかし初項や公差をいわずに単に数列 $\{a_n\}$ が等差数列であるというだけなら，わざわざ $a_n=a+(n-1)d$ の形で表す必要はない．それが次の定理である．

定理　公差が0でないとき，

数列 $\{a_n\}$ が等差数列 $\iff a_n=(\,n$ の1次式)

証明

$\Rightarrow)$ 　数列 $\{a_n\}$ が初項 $a$ ，公差 $d$ の等差数列ならば， $a_n=a+(n-1)d$ と表せる．よって

$a_n=(n-1)d=d\,n+(a-d)$

となるが，これは $n$ の1次式である．
$\Leftarrow)$ 　 $a_n$ が $n$ の1次式で表されているとすると， $p,\ q$ を定数として $a_n=p\,n+q\ (p\neq0)$ とおける．よって

$a_{n+1}-a_n=\{p(n+1)+q\}-(pn+q)=p$ (定数)

　よって差が一定となるから等差数列である．

■

　この定理を用いるならば，上の例題は $a_n=a+(n-1)d$ とおくのではなく， $a_n=p\,n+q$ とおく方がずっとシンプルでよい．同様に $b_n$ も $b_n=r\,n+s$ とおける．すると

$\begin{align*} 5a_n-2b_n&=5(p\,n+q)-2(r\,n+s)\\[5pt] &=(5p-2r)n+5q-2s \end{align*}$

となって， $5a_n-2b_n$ も $n$ の1次式となっているから等差数列である．これで例題の証明ができた．

※ここでは $n$ の係数である $5p-2r$ は0でないと仮定した．

■

　因みに数列 $\{5a_n-2b_n\}$ の初項は， $n=1$ を代入して $5(p+q)-2(r+s)$ ，公差は $n$ の係数である $5p-2r$ である．

　数列 $\{a_n\}$ について

「 $\{a_n\}$ が等差数列」
→　 $a_n=a+(n-1)d$ とおく．
　　　または，
　　 $a_n=p\,n+q$ とおく．
「 $\{a_n\}$ が等差数列であることを示せ．」
→　 $a_n=(n$ の1次式) となることを示す．

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