7. 2次方程式の解の配置(ノート)
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数学Ⅰ　第1章　2次関数

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7.　2次方程式の解の配置

7.1　2次方程式の解の配置

方程式の解の配置は目で考えるのが基本

　2次方程式の解について，例えば「2つの解がともに正であるための条件」とか，「一方は正で他方は負であるための条件」といったように，方程式の解の性質について問う問題は，しばしば「方程式の解の配置問題」と呼ばれる．こういった問題を考える上での最良の方策は

解を目で捉える

ことである．

方程式の解を目で捉えるとは一体どういうことか？

　2次関数 $y=x^2-4x+3$ を例にとろう．このグラフの $x$ 切片，すなわち $x$ 軸と交わる点の $x$ 座標は何であろうか？
　$x$ 軸とは $y$ 座標が0である点の集合である．従って関数の $y$ を0とおくと，$0=x^2-4x+3$ 即ち

$$x^2-4x+3=0$$

を $x$ は満たす．これを解くと

$$(x-1)(x-3)=0\ \ \ \ \therefore x=1,\ 3$$

　従って $x$ 切片は1と3であることがわかった．
　グラフは次のようである：

方程式の実数解と $x$ 切片は完全に対応している

　私たちが上の操作でやったことは何だったのだろうか？それは2次関数 $y=x^2-4x+3$ のグラフの $x$ 切片を知るのに

2次方程式 $\boldsymbol{x^2-4x+3=0}$ を解いた

のである．そしてこれは逆に考えることもできて，2次方程式 $x^2-4x+3=0$ の実数解が知りたければ

2次関数 $\boldsymbol{y=x^2-4x+3}$ のグラフの $x$ 切片を見ればよい

のである．このように2次方程式の実数解と2次関数のグラフの $x$ 切片は完全に対応しているのであって，従って2次方程式の実数解の配置を考えるには，2次関数のグラフの $x$ 切片がどうなっているかを考えればよいのである．これが

解を目で捉える

の正体である．例えば両方の解が正であるという条件は，グラフが $x$ 軸の正の部分と2点で交わる条件を求めればよい．このような同値な言いかえによって，視覚的に捉えていくことが肝要である．

7.2　いくつかの例

　2次方程式の2解について，様々な設定下での条件を考えていこう．

[1]　ともに $p$ より大きい

例題　2次方程式 $x^2-2mx-m+2=0$ の重解を含む2つの解が，ともに正であるように，定数 $m$ の値の範囲を定めよ．

こたえ

　2次方程式の左辺を $f(x)$ とおくと，

$$f(x)=(x-m)^2-m^2-m+2$$

と変形できるから，グラフは軸が直線 $x=m$ で，下に凸な放物線である．与えられた2次方程式の判別式を $D$ とすると，2解がともに正，すなわち $x>0$ であるためには次の3つの条件がすべて必要である．

① $D\geqq0$　② (軸)$>0$　③ $f(0)>0$

　これらの条件はそれぞれ次のようになる

①

$$\begin{align*} D/4=(-m)^2-(-m+2)&\geqq0\\[5pt] m^2+m-2&\geqq0\\[5pt] (m+2)(m-1)&\geqq0\\[5pt] \end{align*}$$

$$\therefore \ \ m\leqq -2,\ 1\leqq m$$

②　$m>0$

③　$f(0)=-m+2>0\ \ \therefore m<2$

　① かつ ② かつ ③ より，これら3つの条件の共通範囲を求める．

　答えは　$1\leqq m<2$

[2]　ともに $p$ より大きく $q$ 未満

例題　2次方程式 $x^2-4mx-3m+1=0$ が，$0$ と $2$ の間に異なる2つの実数解をもつように，定数 $m$ の値の範囲を定めよ．

こたえ

　2次方程式の左辺を $f(x)$ とおくと，

$$f(x)=(x-2m)^2-4m^2+3m+1$$

と変形できるから，グラフは軸が直線 $x=2m$ で，下に凸な放物線である．与えられた2次方程式の判別式を $D$ とすると，異なる2つの解がともに $0$ より大きく，$2$ より小さくなるためには次の4つの条件がすべて必要で，どれ一つとして欠くことができない．

① $D>0$　② $0<$(軸)$<2$　③ $f(0)>0$　④ $f(2)>0$

　これらの条件はそれぞれ次のようになる

①

$$\begin{align*} D/4=(-2m)^2-(-3m+1)&>0\\[5pt] 4m^2+3m-1&>0\\[5pt] (m+1)(4m-1)&>0\\[5pt] \end{align*}$$

$$\therefore m<-1,\ \dfrac14<m$$

②　$0<2m<2$　$\therefore\ 0<m<1$

③　$-3m+1>0$　$\therefore\ m<\dfrac13$

④　$2^2-4m\cdot2-3m+1>0$　$\therefore\ m<\dfrac5{11}$

　① かつ ② かつ ③ かつ ④ より，これら4つの条件の共通範囲を求める．

　答えは　$\dfrac14<m<\dfrac13$

[3]　一方が $p$ より小さく，他方が $p$ より大きい

例題　2次方程式 $2x^2+5mx+m^2-6m-4=0$ が，1より大きい解と，1より小さい解の2つをもつとき，定数 $a$ の値の範囲を定めよ．

こたえ

　2次方程式の左辺を $f(x)$ とおくと，題意の条件は $f(1)<0$ のみである．

$$\begin{align*} f(1)=2\cdot1^2+5m\cdot1+m^2-6m-4<0\\[5pt] m^2-m-2<0\\[5pt] (m+1)(m-2)<0\\[5pt] \end{align*}$$

　答えは　$-1<m<2$

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