6．2次不等式とグラフ【演習問題】｜スライドで学ぶ高校数学

高校数学[総目次]

数学Ⅰ　第1章　2次関数

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1. 2次関数のグラフ	[無料]		[会員]
2. 関数のグラフの移動	[無料]		[会員]
3. 2次関数の最大・最小	[無料]		[会員]
4. 2次関数の決定	[無料]		[会員]
5. 2次関数のグラフと方程式	[無料]		[会員]
6. 2次不等式とグラフ	[無料]		[会員]
7. 2次方程式の解の配置	[無料]		[会員]

演習問題

解答

(1)　$y=(x-1)(x-3)$ とおくと，この2次関数のグラフは図のようになります．

　グラフから $y<0$ となる $x$ の値の範囲は $$1<x<3$$

(2)　$x^2-2x+2<2x-1$ を整理すると $$x^2-4x+3<0$$ 　これは左辺を因数分解すれば(1)の2次不等式と同じになりますから，答えも当然同じです．
　答えは　$1<x<3$

(3)　両辺に $-1$ を掛けると $$x^2-4x+3>0$$ 　故に左辺を $y$ とおいた2次関数は(1)のものと同じになります．(3)では $y>0$ となる範囲ですから，グラフが $x$ 軸よりも上側となっている $x$ の値の範囲を求めればよい訳です．
　答えは　$x<1,\ 3<x$

重要なアドバイス

　(3)のように $x^2$ の係数が負の数であるときには，両辺に $-1$ を掛けて正の数にしてから考えます．グラフを常に下に凸にしておくことで，うっかりミスを減らすことができます．必ず実施するようにしましょう．

解答

(1)　与式の左辺を $y$ とおいて，平方完成すると

$$\begin{align*} y&=x^2-4x+5\\[5pt] &=(x-2)^2-2^2+5\\[5pt] &=(x-2)^2+1\\[5pt] \end{align*}$$

　よってグラフは図のようになります．

　グラフからすべての $x$ で $y>0$ となっています．
　答えは　すべての実数

補足　グラフに頼らず，平方完成された式で考えることもできます．
　$y=(x-2)^2+1$ において，$(x-2)^2$ の部分はどんな $x$ の値に対しても0以上の値となり，更にそれに1を加えるので，常に $y>0$ となります．

(2)～(5) は，左辺がすべて同じ2次関数です．この左辺を $y$ とおいて平方完成すると

$$y=x^2-4x+4=(x-2)^2-2^2+4=(x-2)^2$$

　よって $y=x^2-4x+4$ のグラフは図のようになります．

(2)　$y>0$ となるのは，グラフから $x=2$ 以外ならどこでもOKです．
　答えは　$x<2,\ 2<x$

補足　答えは簡単に「$x\neq2$」とだけ書いてもよいでしょう．

(3)　$y\geqq0$ となるのは，グラフからすべての実数です．
　答えは　すべての実数

(4)　$y\leqq0$ となるのは，グラフから $x=2$ だけです．$x=2$ 以外はすべて $y>0$ となっています．もちろん $y<0$ となることもありません．
　答えは　$x=2$

補足　不等式を解くと，大抵の場合答えも ‘＜’ や’ ＞’ の不等号を使った不等式となりますが，この問題のように不等式を解いた結果，等式になるということもあるのです．

(5)　グラフからわかるように，$y<0$ となるような $x$ は存在しません．
　答えは　解はない　となります．

解答

　与式の左辺を $y$ とおくと $$x^2-(a+2)+2a=(x-a)(x-2)$$ と表せます．

1°　$a<2$ のとき

　グラフは図のようになります．