5. 2次関数のグラフと方程式(ノート)
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高校数学[総目次]

数学Ⅰ　第1章　2次関数

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5.　2次関数のグラフと方程式

5.1　2次関数と2次方程式

2次関数から2次方程式へ

例　2次関数 $y=x^2-4x+3$ と $x$ 軸の共有点の個数は何個あるか．また $x$ 軸との共有点の $x$ 座標も求めよ．

　2次関数 $y=x^2-4x+3$ と $x$ 軸の共有点の個数を，グラフを使って考えてみよう．まず $y$ 切片は3である．また平方完成すると $$y=(x-2)^2-1$$ であるから，頂点の座標は $(2,\ -1)$．従ってグラフは次のようになり，$x$ 軸との共有点の個数は2個であることがわかる：

　では次に，$x$ 軸との共有点の $x$ 座標，すなわち $x$ 切片はどうなっているだろうか．$x$ 軸というのは $y$ 座標が0である点の集まりであるから，2次関数 $y=x^2-4x+3$ の $y$ を０とおいた

$$0=x^2-4x+3$$

を考えればよいであろう．因数分解して

$$(x-1)(x-3)=0\ \ \ \therefore x=1,\ 3$$

　つまり，$x$ 切片は1と3であることがわかった．

　ここまでで何をやったか振り返っておこう．私たちは2次関数 $y=x^2-4x+3$ と $x$ 軸の共有点の $x$ 座標を調べるのに2次方程式 $x^2-4x+3=0$ を解いたのである．つまり

2次関数から2次方程式へ

と議論を移したのである．

次は逆の2次方程式から2次関数へ

　今度は逆に，2次方程式 $x^2-4x+3=0$ の解について考えることから始めてみよう．

例　2次方程式 $x^2-4x+3=0$ の実数解を，2次関数のグラフから捉えよ．

方程式の両辺を $y$ とおくと，

$$\left\{\begin{array}{l} y=x^2-4x+3\\[5pt] y=0 \end{array}\right.$$

　つまり2次方程式 $x^2-4x+3=0$ の実数解は，2つの関数 $y=x^2-4x+3$ と $y=0$ のグラフの共有点の $x$ 座標に現れるということがわかる．

　ここでも振り返えっておくと，2次方程式の実数解を考えるのに，2次関数のグラフを利用したのである．つまり

2次方程式から2次関数へ

と議論を移したのである．

　一般に，放物線 $y=ax^2+bx+c$ が $x$ 軸 (直線 $y=0$ ) と共有点をもつとき，その $x$ 座標は， $$\left\{\begin{array}{l} y=ax^2+bx+c\\[5pt] y=0 \end{array}\right.$$ から $y$ を消去した2次方程式 $$ax^2+bx+c=0$$ の実数解である．
　逆に2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ が実数解をもつとき，この2次方程式の左辺を $y$ とおいた放物線 $y=ax^2+bx+c$ は，右辺を $y$ とおいた直線 $y=0$ ($x$ 軸) と共有点をもつ．
　つまり，次が成り立つ：

2次関数と2次方程式の関係　2次関数 $y\!=\!ax^2\!+\!bx\!+\!c$ のグラフと $x$ 軸との共有点の $x$ 座標は，2次方程式 $ax^2\!+\!bx\!+\!c\!=\!0$ の実数解と等しい．

　放物線 $y=ax^2+bx+c$ が $x$ 軸と接する場合や，共有点をもたない場合も，それぞれ次のようになる：

接する　　　　　$\iff ax^2\!+\!bx\!+\!c\!=\!0$ は重解をもつ
共有点をもたない$\iff ax^2\!+\!bx\!+\!c\!=\!0$ は実数解をもたない

2次関数のグラフと $x$ 軸との関係は，2次方程式の実数解の議論に持ち込む

例題　2次関数 $y=2x^2+4x+m$ のグラフと $x$ 軸の共有点の個数を求めよ．

こたえ

　解答例を表示する

　2次方程式 $2x^2+4x+m=0$ の判別式を $D$ とすると， $$D/4=2^2-2m=2(2-m)$$ 　よって共有点の個数は， $$\left\{\begin{array}{ll} D/4>0(\iff m <2)\mbox{のとき} & 2\mbox{個}\\[5pt] D/4=0(\iff m=2)\mbox{のとき} & 1\mbox{個}\\[5pt] D/4 < 0(\iff m >2)\mbox{のとき} & 0\mbox{個} \end{array}\right.\ \ \cdots(\mbox{答})$$

5.2　2次関数のグラフと直線

相手が $x$ 軸ではない一般の直線でも考え方は何一つとして変わらない

　放物線と直線の共有点の $x$ 座標について，次の(A)，(B)の2つのケースを考えてみよう．

例　次の放物線と直線の共有点の $x$ 座標を求めよ．
(A)　放物線 $y=x^2-4x+3$ と $x$ 軸
(B)　放物線 $y=x^2-2x+2$ と直線 $y=2x-1$

　まず(A)は， $y=0$ とおいた

$x^2-4x+3=0$　…①

を解けばよい．因数分解して解くと $(x-1)(x-3)=0$．従って $x=1,\ 3$ である．

　次(B)は，放物線 $y=x^2-2x+2$ と直線 $y=2x-1$ の2式から $y$ を消去して得られる $x^2-2x+2=2x-1$ を解けばよいが，整理すると

$x^2-4x+3=0$

となって，これは①式そのものである．つまり

(A)を考えることと(B)を考えることは同じ

なのである．放物線の相手が $x$ 軸だろうが，そうでない直線だろうが，整理して「$=0$」とした式が同じなら，結局 $x$ 軸との共有点を考えることに帰着されるのである．

例題　2次関数 $y=2x^2+5x$ のグラフと直線 $y=x-m$ との共有点の個数を求めよ．

こたえ

　解答例を表示する

　放物線と直線の方程式から $y$ を消去すると， $$2x^2+5x=x-m$$ $$\therefore\ 2x^2+4x+m=0$$ [ 上の例題 と同じ式になったから，これ以降はそちらの解答を参照．]

5.3　2つの2次関数のグラフ

相手が2次関数，すなわち2次関数どうしの関係でも考え方は基本的に同じ

例題　次の2つの放物線について，共有点の個数を求めよ．
(1)　$y=x^2-2x+2,\ \ y=-x^2+6x-4$
(2)　$y=x^2-2x+2,\ \ y=x^2+6x-4$
(3)　$y=x^2-2x+2,\ \ y=x^2-2x-4$

こたえ

　解答例を表示する

(1)　$y=x^2-2x+2,\ y=-x^2+6x-4$ の2式から $y$ を消去して $$x^2-2x+2=-x^2+6x-4$$ 　整理して $$2x^2-8x+6=0$$ $$x^2-4x+3=0$$ 　判別式を $D$ とすると $$D/4=(-2)^2-1\cdot3=1>0$$ 　よって共有点の個数は2個．

(2)　$y=x^2-2x+2,\ y=x^2+6x-4$ の2式から $y$ を消去して $$x^2-2x+2=x^2+6x-4$$ 　整理して $$-8x=-6$$ $$\therefore\ \ x=\dfrac34$$ 　よって共有点の個数は1個．

(3)　$y=x^2-2x+2,\ y=x^2-2x-4$ の2式から $y$ を消去して $$x^2-2x+2=x^2-2x-4$$ $$\therefore \ \ 2=-4$$ 　この式は成り立たないから，共有点の個数は0個．

このあとは演習問題 で理解を確認！

次は，6．2次不等式とグラフ
前は，4．2次関数の決定

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※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです．