4. 2次関数の決定(ノート)
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高校数学[総目次]

数学Ⅰ　第1章　2次関数

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2. 関数のグラフの移動	[無料]		[会員]
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4. 2次関数の決定	[無料]		[会員]
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4.　2次関数の決定

4.1　2次関数の決定

2次関数を決定するときの3つの基本形

　2次関数を決定するには，与えられた条件により次のようにおく：

[1]　頂点や軸がわかっている場合
　　　　→　$y=a(x-p)^2+q$

[2]　頂点や軸がわかっていない場合
　　　　→　$y=ax^2+bx+c$

[3]　$x$ 切片がわかっている場合
　　　　→　$y=a(x-\alpha)(x-\beta)$

頂点や軸がわかっているとき

例題1　次の条件を満たす2次関数を求めよ．
　　グラフが頂点 $(1,2)$で，点 $(2,4)$ を通る．

答

　解答例を表示する

　頂点の座標が $(1,2)$ より，求める2次関数は \[y=a(x-1)^2+2\] とおける．このグラフが点 $(2,4)$ を通るとき， \[4=a(2-1)^2+2\ \ \ \ \therefore a=2\] 　よって， \[\underline{\boldsymbol{y=2(x-1)^2+2}}\ \ \ (y=2x^2-4x+4)\]

頂点や軸がわかっていないとき

例題2　次の条件を満たす2次関数はを求めよ．
　グラフが3点 $(1,-2),\ (-2,-5),\ (3,10)$ を通る．

答

　解答例を表示する

　求める2次関数を $y=ax^2+bx+c$ とおくと，条件より \[\left\{\begin{array}{ll} \ a+\ b+\ c=-2&\cdots\mbox{①}\\[5pt] 4a-2b+c=-5&\cdots\mbox{②}\\[5pt] 9a+3b+c=10&\cdots\mbox{③}\\[5pt] \end{array}\right.\] 　②$-$①より，$3a-3b=-3\ \therefore\ a-b=-1\ \cdots$④
　③$-$①より，$8a+2b=12\ \therefore\ 4a+b=6\ \cdots$⑤
　④$+$⑤より，$5a=5\ \therefore\ a=1$
　従って，④より $b=2$，①より $c=-5$
　以上により，$\underline{\boldsymbol{y=x^2+2x-5}}$

$x$ 切片がわかっているとき

例題3　次の条件を満たす2次関数を求めよ．
　グラフの $x$ 切片が $-1$ と $2$ であり，点 $(3,4)$ を通る．

答

　解答例を表示する

　$x$ 切片が $-1$ と $2$ であるから，求める2次関数は， \[y=a(x+1)(x-2)\] とおける．このグラフが点 $(3,4)$ を通るから， \[\begin{align*} 4&=a(3+1)(3-2)\\[5pt] \therefore a&=1 \end{align*}\] 　よって， \[y=(x+1)(x-2)\] \[\therefore \underline{\boldsymbol{y=x^2-x-2}}\]

このあとは演習問題 で理解を確認！

次は，5．2次関数のグラフと方程式
前は，3．2次関数の最大・最小

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