3. 2次関数の最大・最小(ノート)
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数学Ⅰ　第1章　2次関数

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3.　2次関数の最大・最小

2次関数の最大・最小は，それほど複雑ではない

　2次関数は値が大きくなったり小さくなったりする上，グラフが曲線であるため，1次関数より状況はずっと複雑である．しかし最大・最小を考えるというだけなら，問題となるのは軸を挟んで関数の値が減少から増加に転じたり，その逆に増加から減少に転じたりという点だけである．従って今考えている範囲が軸を含まないなら，1次関数の最大・最小を考えることとさして変わるところはない．

　例えば2次関数 $y=x^2-4x+5$ を考えよう．平方完成すると $y=(x-2)^2+1$ となるから，頂点の座標は $(2,\ 1)$，軸は直線 $x=2$ である．従ってグラフは次のようになる．

　グラフを見ると

$x\leqq2$ で減少，$x\geqq2$ で増加

ということがわかる．よってこの2次関数は $x=2$ で最小値1をとる．一方， $x$ の値をどんどん小さくしたり，逆にどんどん大きくしていくと， $y$ の値はいくらでも大きくなることもグラフからわかる．従って最大値はない．数学Ⅲになると「$\infty$(正の無限大)」という記号が出てきて，これを知っていると「最大値は $\infty$」といいたくなるかもしれないがこれは正しくない．数学では「$\infty$」は特定の値を指す記号ではないので最大「値」と呼ぶわけにはいかないのである．
　さてここで，定義域を $3\leqq x\leqq 4$ に制限してみよう．この範囲における最大値・最小値はどうなっているであろうか．

　グラフから一目瞭然， $x=3$ で最小値2， $x=4$ で最大値5をとっている．そう判断した私たちの思考を冷静に振り返ってみると，実は1次関数のグラフ，即ち直線を見てどちらがより大きいか小さいかを判断しているときとまるで同じである．途中が曲線だろうが直線だろうが，最大・最小を判断するうえでは問題にならない．グラフが右上がりだということがわかったら，私たちは両端の値しか見ていないのである．

3.1　2次関数の最大・最小

2次関数の最大・最小にはいくつかのパターンがある

　2次関数の最大・最小を考える上で，まず大きく分けて2つの場合がある．一つには定義域に制限がなく実数全体のとき，そしてもう一つには定義域に制限があるときである．後者の場合には更に，軸が含まれるかどうかで場合分けが生じる．

定義域に制限がなく実数全体のとき

例題　次の2次関数に最大値，最小値があればそれを求めよ．最大値または最小値をとるときの $x$ の値もあわせて求めよ．
(1) $y=\dfrac12x^2+x-2$
(2) $y=-2x^2+2x+1$

こたえ

(1) $y=\dfrac12x^2+x-2$ を平方完成すると $$\begin{align*}y&=\dfrac12x^2+x-2\\[5pt] &=\dfrac12(x^2+2x)-2\\[5pt] &=\dfrac12(x+1)^2-\dfrac52 \end{align*}$$ 　よって $x=-1$ で 最小値 $-\dfrac52$ をとる．最大値はない．

(2) $y=-2x^2+2x+1$ を平方完成すると $$\begin{align*}y&=-2x^2+2x+1\\[5pt] &=-2\left(x^2-x\right)+1\\[5pt] &=-2\left(x^2-\dfrac12\right)^2+\dfrac32 \end{align*}$$ 　よって $x=\dfrac12$ で最大値 $\dfrac32$ をとる．最小値はない．

問題１【基本】
　次の2次関数に最大値，最小値があればそれを求めよ．最大値または最小値をとるときの $x$ の値もあわせて求めよ．
(1)　$y=x^2-4x+5$　(2)　$y=-2x^2+4x$

答えは 演習問題 へ

定義域に制限があるとき

例題　次の2次関数に最大値，最小値があればそれを求めよ．最大値または最小値をとるときの $x$ の値もあわせて求めよ．
(1) $y=x^2-3\ \ (-2\leqq x\leqq 1)$
(2) $y=-2x^2+4x+1\ \ (0\leqq x\leqq 3)$
(3) $y=-x^2+4x\ \ (1< x< 4)$

こたえ

(1) $y=x^2-3\ (-2\leqq x\leqq 1)$ のグラフは，軸が直線$x=0\ (y$ 軸)で，下に凸な放物線である．

　$\boldsymbol{x=0}$ (軸)が定義域に含まれているから，頂点の $y$ 座標が最小値となる．最大値は軸から遠い $x=-2$ で実現される．
　答えは
　　$x=-2$ で最大値 1 を取り，
　　$x=0$ で最小値 $-3$ を取る．

(2) $y=-2x^2+4x+1$ を平方完成すると $$\begin{align*} y&=-2x^2+4x+1\\[5pt] &=-2(x^2-2x)+1\\[5pt] &=-2(x-1)^2+3 \end{align*}$$

　となるから，グラフは軸が直線$x=1\ で，上に凸な放物線である．従って$0\leqq x\leqq 3$ におけるグラフは次のようになる．

　$\boldsymbol{x=1}$ (軸)が定義域に含まれているから，頂点の $y$ 座標が最大値となる．最小値は軸から遠い $x=3$ で実現される．
　答えは
　　$x=1$ で最大値 $3$ をとり，
　　$x=3$ で最小値 $-5$ をとる．

(3) $y=-x^2+4x$ を平方完成すると $$\begin{align*} y&=-x^2+4x\\[5pt] &=-(x^2-4x)\\[5pt] &=-(x-2)^2+4 \end{align*}$$

となるから，グラフは軸が直線$x=2\ で，下に凸な放物線である．従って$1< x< 4$ におけるグラフは次のようになる．

　$\boldsymbol{x=2}$ (軸)が定義域に含まれていること，及び両端の $x=1$ と $x=4$ は定義域に含まれないことに注意をすると，頂点の $y$ 座標が最大値となる．最小値については軸から遠い $x=4$ の近くに行けば行く程小さくなって $f(4)=1$ に近付いていくが，$x=4$ そのものはとることができないから $f(4)=1$ もとることはできない．従って最小値はない．
　答えは
　　$x=2$ で最大値 $4$ をとる．
　　また，最小値はない

問題２【基本】
　次の2次関数に最大値，最小値があればそれを求めよ．最大値または最小値をとるときの $x$ の値もあわせて求めよ．
(1)　$y=x^2-4x+5$　$(0\leqq x\leqq 1)$
(2)　$y=-2x^2+4x$　$(-1< x\leqq 2)$

答えは 演習問題 へ

3.2　いくつかの例

　代表的な2つの例題を確認しておこう．1つは放物線が動くケース，そしてもう1つは定義域が動くケースである．大抵の場合はこのどちらかであるが，まれに両方とも動くケースも見受けられる．

例題1 [放物線が移動するケース]
2次関数 $y\!=\!x^2\!-\!2ax\ (0\!\leqq\! x\!\leqq\! 2)$ の最小値を求めよ．

　ポイント
　　軸が定義域の内か外で場合分け

答

　$y=x^2-2ax=(x-a)^2-a^2$
　よってグラフは軸が直線 $x=a$ で下に凸．

[1]　$a<0$ のとき

　　$x=0$ で最小値0

[2]　$0\leqq a\leqq 2$ のとき

　　$x=a$ で最小値 $-a^2$

[3]　$a>2$ のとき

　　$x=2$ で最小値 $4-4a$

発展的補足

レベルは高いが入試問題では大いに役立つ最大・最小の考え方

　一般に2次関数で最大・最小となり得るのは

①定義域の左端　②定義域の右端　③頂点の $y$ 座標

の3つであってこれ以外にない．従って本問の場合でも 最小値の候補となるのは，定義域の左端の $x=0$ のときか， 定義域の右端である $x=2$ のときか，頂点である $x=a$ のときかの3つであり，これらの値は順に

$$0,\ \ 4-4a,\ \ -a^2$$

となる．この3つのうちのどれになるかは $a$ の値次第であるから， $y=x^2-2ax\ \ (0\leqq x\leqq 2)$ の最小値を $m(a)$ とすれば，

$$m(a)={\rm min}\{\ 0,\ 4-4a,\ -a^2\ \}$$

と表される．(すぐ下の注参照)

注　${\rm min}\{x,\ y\}$ で，$x$ と $y$ のうち，大きくない方の値を表す．

　ただし，上の3つの候補のうち $-a^2$ だけは，軸が定義域に入っている $0\leqq a\leqq 2$ のときのみ有効であることに注意が必要である．

　$m(a)$ のグラフは，各 $a$ において最小となるグラフをつないでいった，以下の太い実線部分となる：

　従って $m(a)$ は次のようになる：

$$m(a)=\left\{ \begin{array}{ll} 0&(a<0)\\[5pt] -a^2&(0\leqq a\leqq2)\\[5pt] 4-4a&(a>2) \end{array}\right.$$

　この考え方の強みは

場合分けが必要ない

というところである．

例題2 [定義域が移動するケース]
2次関数 $y\!=\!x^2\!-\!2x\ (a\!\leqq\! x\!\leqq\! a+2)$ の最小値を求めよ．

答

　$y=x^2-2x=(x-1)^2-1$
　よってグラフは軸が直線 $x=1$ で，下に凸である．

[1]　$a+2<1(\iff a<-1)$ のとき

　　$x=a+2$ で最小値 $a^2+2a$

[2]　$a\leqq 1\leqq a+2$ $(\iff -1\leqq a\leqq 1)$ のとき

　　$x=1$ で最小値 $-1$

[3]　$a>1$ のとき

　　$x=a$ で最小値 $a^2-2a$

発展的補足

レベルは高いが入試問題では大いに役立つ最大・最小の考え方

　例題1の発展的補足で見たように，2次関数の最大・最小問題では候補がいくつかに限定される．最小値の候補は，定義域の両端，もしくは頂点の $y$ 座標であるから，

$$a^2+2a,\ \ a^2-2a,\ \ -1$$

の3つである．

　$y=x^2-2x\ (a\leqq x\leqq a+2)$ の最小値を $m(a)$ とすれば，

$$m(a)={\rm min}\{a^2+2a,\ a^2-2a,\ -1\}$$

と表せる．ただし，$-1$ は軸が定義域に入っている $-1\leqq a\leqq 1$ のときのみ有効である．

　$m(a)$ のグラフは，各 $a$ において，最小となるグラフをつないでいった図の太い実線部分となる：

　従って $m(a)$ は次のようになる：

$$m(a)=\left\{ \begin{array}{ll} a^2+2a&(a< -1)\\[5pt] -1&(-1\leqq a\leqq1)\\[5pt] a^2-2a&(a>1) \end{array}\right.$$

このあとは演習問題 で理解を確認！

次は，4．2次関数の決定
前は，2．関数のグラフの移動

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