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演習問題
問題１【基本】
放物線 $y=2x^2+8x+5$ を $x$ 軸方向に $-1$，$y$ 軸方向に $-2$ だけ平行移動して得られる放物線の方程式を求めよ．
問題２【基本】
ある放物線を $x$ 軸方向に2，$y$ 軸方向に3だけ平行移動すると，放物線 $y=2x^2-4x+1$ が得られた．元の放物線の方程式を求めよ．
問題３【基本】
2次関数 $y=x^2-6x+7$ のグラフを，次の(1)～(3)に関して対称移動した曲線をグラフにもつ2次関数を求めよ．
(1) $y$ 軸 (2) $x$ 軸 (3) 原点
問題４【基本】
放物線 $y=ax^2+bx+c$ を，$x$ 軸に関して対称移動し，更に $x$ 軸方向に $-3$ だけ平行移動すると，放物線 $y=-2x^2-4x+1$ が得られた．定数 $a,b,c$ の値を求めよ．
図形の平行移動においては，移動前と移動後の図形は合同です．従って2次関数のグラフについていうと，平行移動の前と後では
2次の係数が同じ
になります．2次の係数というのは $y=ax^2$ であれば「$a$」のことです．この値こそが2次関数のグラフの形を決定づけるのでした．2次の係数が同じならば，$y=ax^2+10x+100$ だろうが，$y=ax^2-\dfrac75x-\dfrac38$ だろうが，どんなものであってもグラフは合同であって，ただ $y=ax^2$ のグラフを平行移動したものと考えることができるのです．ついでですが，2次の係数が符号違いの $-a$ であっても，凸性は異なるもののグラフは合同※です．
※合同とは平行・回転・対称移動(ひっくり返す)等でピッタリと重なる図形のことをいうのでした．
この問題では2次の係数がすべて2ですから，関数 $y=2x^2$ のグラフを平行移動したものだと考えることができます．
2次関数のグラフの平行移動の問題へのアプローチの方法としては次の2つがあります．
① 頂点の移動を捕捉する．
② $y-q=f(x-p)$ を利用する．
②の方がやや程度が高いですが，2次関数のグラフに限らず，あらゆる図形の平行移動で使えるのが②の方法です．
解答
やり方①【頂点の移動を捕捉】
与式を平方完成すると
\[\begin{align*}
y&=2x^2+8x+5\\[5pt]
&=2(x^2+4x)+5\\[5pt]
&=2\{(x+2)^2-2^2\}+5\\[5pt]
&=2(x+2)^2-8+5\\[5pt]
&=2(x+2)^2-3
\end{align*}\]
従って頂点の座標は $(-2,\ -3)$ です．この頂点を $x$ 軸方向に $-1$，$y$ 軸方向に $-2$ だけ平行移動すると，点 $(-3,\ -5)$ に移ります．これが移動後の頂点です．平行移動では2次の係数に変化がありませんから，求める放物線の方程式は $y=2\{x-(-3)\}^2-5$，すなわち\[y=2(x+3)^2-5\]
やり方②【$y-q=f(x-p)$ を利用】
$x$ 軸方向に $-1$，$y$ 軸方向に $-2$ だけ平行移動するとき，公式 により $x$ と書かれた部分を $x-(-1)$ に，$y$ と書かれた部分を $y-(-2)$ に置き換えればよいのですから，求める方程式は
\[\begin{align*}
y+2&=2(x+1)^2+8(x+1)+5\\[5pt]
y+2&=2(x^2+2x+1)+(8x+8)+5\\[5pt]
\end{align*}\]
展開して整理しますと\[y=2x^2+12x+13\]
補足 やり方①も展開すると同じ式になります．
逆モーションで考えれば問題1と同じです．
解答
放物線 $y=2x^2-4x+1$ を $x$ 軸方向に $-2$，$y$ 軸方向に $-3$ だけ平行移動すると，元の放物線が得られます．
やり方①【頂点の移動を捕捉】
$y=2x^2-4x+1$ を平方完成すると