高校数学[総目次]
数学Ⅱ 第2章 複素数と方程式
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| 1. 複素数 | [会員] | |
| 2. 2次方程式の解と判別式 | [会員] | |
| 3. 解と係数の関係 | [会員] | |
| 4. 剰余の定理・因数定理 | [会員] | |
| 5. 高次方程式 | [会員] |
5．高次方程式
5.1 高次方程式の解法
多項式 P(x)P(x) が3次以上のとき，方程式 P(x)=0P(x)=0 を高次方程式という．
解法の手順
- 発見的に1つ解 (αα とする) を見つける．
- P(x)P(x) を x−αx−α で割る．
- 商が2次式になるまで①，②を繰り返す．
例題 x3+3x2+4x+2=0x3+3x2+4x+2=0 を解け．
手順① 発見的に解の1つを見つける
係数が整数，かつ最高次の係数が1
→ 解の候補は定数項の正負の約数(前節)
→ ±1, ±2±1, ±2 このうち −1−1 が解．
手順③ 手順①，②を全ての因数が2次以下になるまで繰り返す．
よって，(x+1)(x2+2x+2)=0(x+1)(x2+2x+2)=0 より
x=−1, −1±i_x=−1, −1±i−−−−−−−−−−−−−−−−
5.2 3次方程式の解と係数の関係
3次方程式 ax3+bx2+cx+d=0ax3+bx2+cx+d=0 の3つの解を，α,β,γα,β,γ とすると， ax3+bx2+cx+d=a(x−α)(x−β)(x−γ)ax3+bx2+cx+d=a(x−α)(x−β)(x−γ) と因数分解できる．このとき (右辺)=a{x3−(α+β+γ)x2+(αβ+βγ+γα)x−αβγ}=ax3−a(α+β+γ)x2+a(αβ+βγ+γα)x−aαβγ(右辺)=a{x3−(α+β+γ)x2+(αβ+βγ+γα)x−αβγ}=ax3−a(α+β+γ)x2+a(αβ+βγ+γα)x−aαβγ となるから，2次以下の係数を比較して， b=−a(α+β+γ)c=a(αβ+βγ+γα)d=−aαβγb=−a(α+β+γ)c=a(αβ+βγ+γα)d=−aαβγ よって，次を得る：
3次方程式の解と係数の関係 3次方程式 ax3+bx2+cx+d=0ax3+bx2+cx+d=0 の3つの解を α,β,γα,β,γ とすると，α+β+γ=−baαβ+βγ+γα=caαβγ=−daα+β+γ=−baαβ+βγ+γα=caαβγ=−da
補足
ax3+bx2+cx+d=a(x−α)(x−β)(x−γ)ax3+bx2+cx+d=a(x−α)(x−β)(x−γ) という式は，因数定理から示される：
P(x)=ax3+bx2+cx+dP(x)=ax3+bx2+cx+d とおくと，P(α)=0P(α)=0，P(β)=0P(β)=0，P(γ)=0P(γ)=0 であるから，P(x)P(x) は (x−α)(x−β)(x−γ)(x−α)(x−β)(x−γ) を因数にもつ．よって kk を定数として， P(x)=k(x−α)(x−β)(x−γ)P(x)=k(x−α)(x−β)(x−γ) となる．これは xx の恒等式であるから，k=ak=a．
例題 3次方程式 x3+ax2+x+b=0x3+ax2+x+b=0 の解のうち，2つが −1−1 と 2 のとき，定数 a,ba,b の値を求めよ．
答
解答例を表示する
補足
「解と係数の関係」という用語を持ち出さず，恒等式の考え方を用いた次のような解法も重要：
～・～・～・
−1−1 と 22 以外の解を pp とすると，
x3+ax2+x+b=(x+1)(x−2)(x−p)x3+ax2+x+b=(x+1)(x−2)(x−p)
と因数分解できる．右辺を展開して1次の係数を比較すると，
1=−2+2p−p ∴p=31=−2+2p−p ∴p=3
よって，(x+1)(x−2)(x−3)(x+1)(x−2)(x−3) を展開して係数を比較することで，a=−4, b=6_a=−4, b=6−−−−−−−−−−−−−− を得る．
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