1. 複素数(ノート)
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高校数学[総目次]

数学Ⅱ　第2章　複素数と方程式

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1. 複素数	[会員]
2. 2次方程式の解と判別式	[会員]
3. 解と係数の関係	[会員]
4. 剰余の定理・因数定理	[会員]
5. 高次方程式	[会員]

1．複素数

　このノートでは，複素数 $a+b\,i$ について，「 $a,\ b$ は実数」という断りを省略することがある．

1.1　複素数

　方程式 $x^2=a$ は，$a\geqq0$ のとき $x=\pm\sqrt a$ を解にもつ．例えば $x^2=1$ のとき $x=\pm1$，$x^2=25$ のとき $x=\pm5$，$x^2=0$ のとき $x=0$ 等々．一方，$x^2=-1$ や $x^2=-4$ は解をもたない．どんな数も2乗すると0以上になるからだ．

　ここでの目標は，方程式 $x^2=a$ において，$a<0$ の場合であっても解をもつように数を拡張することにある．

2乗すると負になる数を考える

　方程式「$x^2=$(負の数)」にも解をもたせるためにはこれまでの数だけでは足りない．次に示す全く新しい数「 $i$ 」を考えることで，この難局を乗り越える．

虚数単位

　2乗すると $-1$ になる数を $i$ で表す：

$i^2=-1$

　この $i$ を虚数単位($\,i\,\rm{maginay\ unit}$)という．imaginary unit は直訳すれば「想像上の単位」ということになろうが，歴史上の数学者が編み出したこの $i$ は，遊び心といった単なるおふざけなどで終始することのない大発明なのである．$i$ が数学の世界に登場したことで，数学は大いなる進歩を遂げることになる．残念なことに，その素晴らしい内容の大部分は大学で学ぶこととなる．

　この虚数単位 $i$ を用いてここに「複素数」と呼ばれる新しい数を導入する：

複素数

　実数 $a, b$ を用いて，$a+b\,i$ と表される数を複素数 (complex number)という：

$a+b\,i$　($a,\ b$ は実数)

　このとき，$a$ を実部，$b$ を虚部という．もう少し簡単な表現にすると

(実数)＋(実数) $i$

の形をしている数を複素数というのである．具体的には $2+3\,i$ や $-4+\sqrt5\,i$ や $-\dfrac{\sqrt2}3-\dfrac{\sqrt7}8\,i$ などである．こういった数の総称が複素数である．

補足

複素数 $a+b\,i$ は実数をも内包する新しい数

①　$b=0$ のとき，$a+b\,i$ は $a$ とする．
　　つまり，実数も複素数である．

②　$b\neq0$ のとき，$a+b\,i$ を虚数という．
　　特に，$a=0$ のときは，$a+b\,i$ を $b\,i$ と表し，これを純虚数という．
　　例えば $2\,i$ や $-3\,i,\ \dfrac{\sqrt6}2i$ など．

③　以上により，次のような包含関係になる：

2つの複素数が等しいとはどういうときをいうのか

　2つの複素数 $a+b\,i$ と $c+d\,i$ が等しいとは，実部，虚部がそれぞれ等しいときをいう：

特に，

読むとかえって混乱するかもしれない補足

　上の2つの囲み書きを見ると，そんなことは当たり前ではないかと思われるかもしれない．恐らく複素数が $a+b\,i$ という見慣れた表情をしているせいであろうが，虚数単位 $i$ という不思議なものを使って数学者が作り出した完全に新しい数である．この数がどういう性質を持っているものなのかを，私たちは知識0の状態から学ばなくてはならない．
　イメージとして例を出すと $a|b$ と書いて「ひまわり数」と呼ぶ新しい数が作られたとしよう．そして2つのひまわり数 $a|b$ と $c|d$ が等しいことを $a+2b=c+2d$ が成り立つときと約束して，$1|2=3|1$ などの関係が成り立つと考えたらどうだろう．実際にはひまわり数は存在しないが，新しい数を作ったら，その数に対する約束事・ルールを1つ1つ決めていかなければならないのである．

共役な複素数

　$a+b\,i$ と $a-b\,i$ を互いに共役な複素数，または複素共役 (complex conjugate)という．

　実数 $a$ を $a=a+0\,i$ と思えば，$a+0\,i$ と共役な複素数は $a=a-0\,i$ すなわち $a$ であるから，結局実数 $a$ と共役な複素数は $a$ 自身である．

1.2　複素数の四則計算

　複素数という新しい数についての四則計算を次のように取り決める：

複素数の四則計算の定義　$a,b,c,d$ を実数とする．2つの複素数$a+bi,\ c+di$ について， $$\begin{align*} &\mbox{加法}\ \ (a\!+\!bi)\!+\!(c\!+\!di)\!=\!(a\!+\!c)\!+\!(b\!+\!d)i\\[5pt] &\mbox{減法}\ \ (a\!+\!bi)\!-\!(c\!+\!di)\!=\!(a\!-\!c)\!+\!(b\!-\!d)i\\[5pt] &\mbox{乗法}\ \ (a\!+\!bi)(c\!+\!di)\!=\!(ac\!-\!bd)\!+\!(ad\!+\!bc)i\\[5pt] &\mbox{除法}\ \ \ \frac{c\!+\!di}{a\!+\!bi}\!=\!\frac{ac\!+\!bd}{a^2\!+\!b^2}\!+\!\frac{ad\!-\!bc}{a^2\!+\!b^2}i \end{align*}$$ 　※ただし，除法では$a\!+\!b\,i\!\neq\!0.$

　複素数の四則計算は，虚数単位 $i$ を $i^2=-1$ とする以外は，$i$ も $a$ や $b$ などの他の文字と同様に通常の文字式と同じ取り扱いで計算できる：

加法：$(1+2\,i)+(3-4\,i)=(1+3)+(2-4)\,i$
　　　　　　　　　　　$=4-2\,i$

減法：$(1+2\,i)-(3-4\,i)=(1-3)+\{2-(-4)\}\,i$
　　　　　　　　　　　　$=-2+6\,i$

乗法：$(1+2\,i)(3-4\,i)=1\cdot3-1\cdot4\,i+2\,i\cdot3-2\,i\cdot4\,i$
　　　　　　　　　　$=3-4\,i+6\,i+8$
　　　　　　　　　　$=11+2\,i$
　　　特に，
　　　$(1+2\,i)(1-2\,i)=1^2-(2\,i)^2$
　　　　　　　　　　$=1+4$
　　　　　　　　　　$=5$ (実数)

除法：$\dfrac{1+2\,i}{3-4\,i}=\dfrac{(1+2\,i)(3+4\,i)}{(3-4\,i)(3+4\,i)}$
　　　　　　　$=\dfrac{1\cdot3+1\cdot4\,i+2\,i\cdot3+2i\cdot4\,i}{3^2+4^2}$
　　　　　　　$=\dfrac{-5+10\,i}{25}$
　　　　　　　$=-\dfrac15+\dfrac25\,i$

（次の事実は基本的だが証明を要する．）

定理　$\alpha,\ \beta$ を複素数とするとき， $$\alpha\beta=0\iff\alpha=0\ \mbox{または}\ \beta=0$$

重要な注意

虚数に大小や正負の概念はない

　虚数については，

①　大小関係　　　②　正負

を考えない．
　例えば，次のような表現はいずれも誤りである：

$$1+2\,i < 3+4\,i$$ $$1+2\,i > 0$$

1.3　負の数の平方根

Q.　$-5$ の平方根は？

A.

　$-5$ の平方根を $x$ とすると， $$\begin{align*} x^2&=-5\\[5pt] x^2+5&=0\\[5pt] x^2-(\sqrt5\,i)^2&=0\ \ \ (\gets(\sqrt5\,i)^2=-5)\\[5pt] (x+\sqrt5\,i)(x-\sqrt5\,i)&=0\ \ \ (\gets A^2\!-\!B^2\!=\!(A\!+\!B)(A\!-\!B))\\[5pt] \therefore x&=\pm\sqrt5\,i \end{align*}$$ 　従って，$-5$ の平方根は，$\sqrt5\,i$ と$-\sqrt5\,i$．

　ここで，$\sqrt{-5}$ を $\sqrt5\,i$ と意味するものと定める：

$$\sqrt{-5}=\sqrt5\,i$$

　すると，$-5$ の平方根は，$\pm\sqrt{-5}$ と表せて，これは $\pm\sqrt5\,i$ を意味する．

　一般に，$a>0$ のとき，$\sqrt{-a}$ は $\sqrt a\,i$ を意味するものと定める：

$\sqrt{-a}$ の意味 　$a > 0$ のとき， $$\sqrt{-a}=\sqrt a\,i$$ 　特に， $$\sqrt{-1}=i$$

例

　$\sqrt{-6}=\sqrt6\,i$

　$\sqrt{-12}=\sqrt{12}\,i=2\sqrt3\,i$

　$\sqrt{-2}\sqrt{-3}=\sqrt2\,i\sqrt3\,i=\sqrt6\,i^2=-\sqrt6$

　$\dfrac3{\sqrt{-2}}=\dfrac3{\sqrt2\,i}=\dfrac{3\sqrt2\,i}{\sqrt2\,i\times\sqrt2\,i}=\dfrac{3\sqrt2\,i}{-4}=-\dfrac{3\sqrt2}4\,i$

注意

$1=-1$　？？？

　上の3番目の例で，次のような計算は誤りである：

$\sqrt{-2}\sqrt{-3}=\sqrt{(-2)\times(-3)}=\sqrt6$　(←誤り)

　$\sqrt a\sqrt b=\sqrt{ab}$ の公式は，$a ,b$ がともに正の数で成り立つもので，負の数では成り立たない．
　次は $1$ と $-1$ が等しくなるというよく知られた不思議な式である．(もちろん正しくない．)

負の数の平方根 　$a>0$ のとき，$-a$ の平方根は，
$\pm\sqrt{-a}$　すなわち　$\pm\sqrt a\,i$

例

　$-4$ の平方根は，$\pm2\,i$

　$-7$ の平方根は，$\pm\sqrt7\,i$

　以上により，負の数も含めた任意の実数 $a$ について，その平方根を表すことができるようになった．

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