4．2次曲線の平行移動(ノート)｜スライドで学ぶ高校数学

高校数学[総目次]

数学Ⅲ　第5章　2次曲線

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1. 放物線	[会員]
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3. 双曲線	[会員]
4. 2次曲線の平行移動	[会員]
5. 2次曲線と直線	[会員]
6. 2次曲線の性質	[会員]
7. 曲線の媒介変数表示	[会員]
8. 極座標と極方程式	[会員]

4．2次曲線の平行移動

4.1 曲線 $F(x,y)=0$ の平行移動

　$F(x,y)=0$ の表す曲線を $x$ 軸方向に $p$，$y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動した点の座標を $(X,Y)$ とすると

$\left\{\begin{array}{l} X=x+p\\[5pt] Y=y+q \end{array}\right.$ 　 $\therefore \left\{\begin{array}{l} x=X-p\\[5pt] y=Y-q \end{array}\right.$

　これらを $F(x,y)=0$ に代入すると

$F(x-p,y-q)=0$

となる．これが平行移動後の方程式である．

注意

　2次曲線においては，頂点，焦点，準線，漸近線なども同じように平行移動する．

例題　放物線 $y^2=8x$ を，$x$ 軸方向に $-1$, $y$ 軸方向に2だけ平行移動した放物線$C$の方程式，頂点，焦点，準線を求めよ．

こたえ

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　放物線 $C$ の方程式は \[(y-2)^2=8(x+1)\] 　また，放物線 $y^2=4\cdot2x$ は

頂点 $(0,0)$，焦点 $(2,0)$，準線 $x=-2$

であり，これらも同様に平行移動するから，放物線 $C$ は，

頂点 $(-1,2)$，焦点 $(1,2)$，準線 $x=-3$

4.2 $ax^2+by^2+cx+dy+e=0$ の表す図形

例題1　$4x^2-9y^2-8x-36y-68=0$ はどのような図形を表すか．

こたえ

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　与式を変形して \[4(x^2-2x+1)-9(y^2+4y+4)=36\] 　すなわち　$4(x-1)^2-9(y+2)^2=36$
　よって　　$\dfrac{(x-1)^2}9-\dfrac{(y+2)^2}4=1$
　これは，双曲線 $\dfrac{x^2}9-\dfrac{y^2}4=1$ を $x$ 軸方向に1，$y$ 軸方向に $-2$ だけ平行移動したものである．

例題2　2つの焦点の座標が $(-2,1),(6,1)$ で，焦点からの距離の和が10である楕円 $C$ の方程式を求めよ．

ポイント 　2次曲線の平行移動量は次に着目：
　　①放物線：頂点
　　②楕円：中心
　　③双曲線：中心

こたえ

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　焦点の座標が $(-2,1),(6,1)$ であるから，楕円の中心は $(2,1)$．また，焦点からの距離の和が10であるから，$C$ は，楕円 $\dfrac{x^2}{5^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ を $x$ 軸方向に2，$y$ 軸方向に1だけ平行移動したものである．

　この移動前の楕円は，焦点が $(\pm4,0)$ で，焦点からの距離の和が10であるから， \[4=\sqrt{5^2-b^2}\ \therefore b=3\] 　故に求める方程式は， \[\frac{(x-2)^2}{25}+\frac{(y-1)^2}{9}=1\]

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