高校数学[総目次]
数学Ⅲ 第5章 2次曲線
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| 1. 放物線 | [会員] | |
| 2. 楕円 | [会員] | |
| 3. 双曲線 | [会員] | |
| 4. 2次曲線の平行移動 | [会員] | |
| 5. 2次曲線と直線 | [会員] | |
| 6. 2次曲線の性質 | [会員] | |
| 7. 曲線の媒介変数表示 | [会員] | |
| 8. 極座標と極方程式 | [会員] |
1．放物線
数学Ⅰでは関数 $y=ax^2+bx+c$ のグラフを放物線といったが，ここでは2次曲線という枠組みの中で新たに定義し直す．
1.1 放物線の方程式
2次曲線という枠組みの中での放物線とは
放物線とは?
定点Fと，Fを通らない定直線$\ell$からの距離が等しい点Pの軌跡．
定点Fを焦点といい，定直線$\ell$を準線という．
補足
放物線が横を向いているのは何故か
放物線が横を向いたようになっていて違和感があるかもしれない．このあと続く楕円(及び円)，双曲線とあわせて2次曲線というが，これらは「定点と定直線からの距離の比が一定である点の軌跡」という形で統一した表現がとれる．この定直線を縦に伸びる直線としたために，放物線がしわ寄せを受けたというわけである．詳しくは 6節 2次曲線の性質 参照
焦点$(p,0)$，準線$x=-p$ の放物線
放物線の定義から方程式を導出する
図において，
\[\begin{align*} {\rm PF}&={\rm PH}\ \ \cdots\ \mbox{①}\\[5pt] {\rm PF}^2&={\rm PH}^2\\[5pt] (x-p)^2+y^2&=|x-(-p)|^2\\[5pt] \therefore y^2&=4px\ \ \cdots\ \mbox{②} \end{align*}\]
よって条件①を満たす点は，曲線②上にある．逆に曲線②上の任意の点は，上の計算の逆をたどることで条件①を満たす．
方程式②を，放物線の方程式の標準形という．
まとめ $p\neq0$ とする．
焦点 $(p,0)$，準線 $x=-p$ である放物線の方程式は
\[y^2=4px\]
例題1 放物線 $y^2=x$ の焦点と準線を求めよ．
こたえ
解答例を表示する例題2 焦点が点 $(1,0)$，準線が直線 $x=-1$ である放物線の方程式を求めよ．
こたえ
解答例を表示する
1.2 $y$ 軸を軸とする放物線
数学Ⅰでやった形も当然表現できる
$p\neq0$ とする．点F $(0,p)$ を焦点とし，直線 $y=-p$ を準線とする放物線の方程式は
\[x^2=4py\]
例題 放物線 $y=2x^2$ の焦点と準線を求めよ．
こたえ
解答例を表示する
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