4. 反復試行の確率(ノート)
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数学A　第2章　確率

4. 反復試行の確率

例　さいころを5回投げて，2以下の目が出たら〇，3以上の目が出たら×を書き並べる．〇が2回となる確率は？

　　　○となる確率： $\dfrac26=\dfrac13$
　　　×となる確率： $1-\dfrac13=\dfrac23$

　○を2個，✕を3個の計5個を書き並べる．

　○✕✕○✕　→　 $\dfrac13\!\cdot\!\dfrac23\!\cdot\!\dfrac23\!\cdot\!\dfrac13\!\cdot\!\dfrac23=\left(\dfrac13\right)^2\left(\dfrac23\right)^3$

　✕○○✕✕　→　 $\dfrac23\!\cdot\!\dfrac13\!\cdot\!\dfrac13\!\cdot\!\dfrac23\!\cdot\!\dfrac23=\left(\dfrac13\right)^2\left(\dfrac23\right)^3$

　✕✕○✕○　→　 $\dfrac23\!\cdot\!\dfrac23\!\cdot\!\dfrac13\!\cdot\!\dfrac23\!\cdot\!\dfrac13=\left(\dfrac13\right)^2\left(\dfrac23\right)^3$

ポイント　どの場合も同じ確率！

　結局 $\left(\dfrac13\right)^2\left(\dfrac23\right)^3$ という確率が，○2個と✕3個の順列の数，即ち

$_5{\rm C}_2$

だけあるから，求める確率は

$_5{\rm C}_2\left(\dfrac13\right)^2\left(\dfrac23\right)^3=10\times\frac{2^3}{3^5}=\underline{\boldsymbol{\frac{80}{243}}}$

　一般に次が成り立つ：

　ある試行で事象 $A$ の起こる確率を $p$ とする．この試行を $n$ 回繰り返すとき， $A$ が $r$ 回起こる確率は， $_n\mbox{C}\,_r\ p^r(1\!-\!p)^{n-r}$

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