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高校数学[総目次]
数学A 第2章 確率
| スライド | ノート | |
| 1. 事象と確率 | [無料] | |
| 2. 確率の基本性質 | [無料] | |
| 3. 独立な試行の確率 | [会員] | |
| 4. 反復試行の確率 | [会員] | |
| 5. 条件付き確率 | [会員] |
2. 確率の基本性質
2.1 積事象と和事象
全事象を表す集合を $U$，事象 $A$，$B$ を表す $U$ の部分集合をそれぞれ $A$，$B$ とする．
積事象
「事象 $A$，$B$ がともに起こる」という事象で，
\[A\cap B\]
で表す．
和事象
「事象 $A$ または $B$ が起こる」という事象で，
\[A\cup B\]
で表す．
2.2 排反事象
例 さいころを1回だけ投げる場合
事象A：奇数の目が出る → $A=\{1,3,5\}$
事象B：2の目が出る → $B=\{2\}$
この2つの事象は同時には起こらない．このとき，事象AとBは互いに排反であるという．
即ち排反とは，$A\cap B=\emptyset$ となるときをいう．
2.3 確率の基本性質
全部の場合 ：$n$ 通り(同様に確からしい)
事象Aの起こる場合：$a$ 通り
$0\leqq a\leqq n$ であるから，
\[\frac0n\leqq \frac an\leqq \frac nn\] \[\therefore 0\leqq P(A)\leqq 1\]
補足
左辺の $\dfrac 0n$ 即ち $0$ は空事象の確率，右辺の $\dfrac nn$ 即ち $1$ は全事象の確率を表す．
確率の基本性質 $U$ を全事象，$A$ をある事象とするとき，\begin{align*} &[1]\ \ 0\leqq P(A) \leqq 1\\[5pt] &[2]\ \ P(\emptyset)\!=\!0,\ \ P(U)\!=\!1\\ \end{align*}
2.4 和事象の確率
\[n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)\]
この両辺を $n(U)$ で割ると，
\[\frac{n(A\cup B)}{n(U)}=\frac{n(A)}{n(U)}+\frac{n(B)}{n(U)}-\frac{n(A\cap B)}{n(U)}\]
\[\therefore P(A\cup B)=P(A)+P(B)+P(A\cap B)\]
特に，事象 $A$ と事象 $B$ が同時に起こらない，すなわち排反のとき，$A\cap B=\emptyset$ であるから，$P(A\cap B)=0$．よって，
\[P(A\cup B)=P(A)+P(B)\]
和事象の確率 2つの事象 $A,\ B$ について，\[P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\] 特に $A$ と $B$ が排反のとき，\[P(A\cup B)=P(A)+P(B)\]
例題 さいころを1回投げるとき，偶数の目が出る，または4以上の目が出る確率を求めよ．
答
全事象U：$U=\{1,2,3,4,5,6\}$
事象A「偶数の目が出る」：$A=\{2,4,6\}$
事象B「4以上の目が出る」：$B=\{4,5,6\}$
事象AかつB「偶数かつ4以上」：$A\cap B=\{4,6\}$
確率はそれぞれ \[\begin{align*} P(A)&=\frac36=\frac12\\[5pt] P(B)&=\frac36=\frac12\\[5pt] P(A\cap B)&=\frac26=13 \end{align*}\] よって， \[\begin{align*} P(A\cup B)&=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\[5pt] &=\frac12+\frac12-\frac13\\[5pt] &=\underline{\boldsymbol {\frac23}} \end{align*}\]
補足
直接計算すれば，$A\cup B=\{2,4,5,6\}$ より， \[P(A\cup B)=\frac46=\underline{\boldsymbol{\frac23}}\]
2.5 余事象の確率
事象 $A$ に対して，$A$ が起こらないという事象を $A$ の余事象といい，$\overline{A}$ で表す．
$A\cap \overline{A}=\emptyset$ により $P(A\cap \overline{A})=0$ であるから，
\[P(A\cup \overline{A})=P(A)+P(\overline{A})\]
また全事象を $U$ とすると，$A\cup\overline{A}=U$ であるから左辺は1となり，次の関係を得る：
\[P(A)=1-P(\overline{A})\]
例題 2つのさいころを同時に投げるとき，次の確率を求めよ．
(1) 出た目の和が4にならない．
(2) 出た目の積が偶数．
ポイント
「$\cdots$ ではない確率」(否定的表現)
「少なくとも $\cdots$ である確率」
→ 余事象の確率を考えてみる．
(1) 和が4にならない事象を $A$ とすると，$\overline{A}$ は「和が4になる」という事象である．
\[P(\overline{A})=\frac3{36}=\frac1{12}\]
よって求める確率 $P(A)$ は，
\[P(A)=1-P(\overline{A})=1-\frac1{12}=\underline{\boldsymbol{\frac{11}{12}}}\]
(2) 積が偶数になるのは，「少なくとも一方の目が偶数」のときである．この余事象は，「両方とも奇数の目が出る」であるから，余事象の確率は，$\dfrac9{36}=\dfrac14$．
従って求める確率は，
\[1-\frac14=\underline{\boldsymbol{\frac34}}\]
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