2. 確率の基本性質(ノート)
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高校数学[総目次]

数学A　第2章　確率

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1. 事象と確率	[無料]
2. 確率の基本性質	[無料]
3. 独立な試行の確率	[会員]
4. 反復試行の確率	[会員]
5. 条件付き確率	[会員]

2. 確率の基本性質

2.1　積事象と和事象

　全事象を表す集合を $U$，事象 $A$，$B$ を表す $U$ の部分集合をそれぞれ $A$，$B$ とする．

積事象

「事象 $A$，$B$ がともに起こる」という事象で，

$$A\cap B$$

で表す．

和事象

「事象 $A$ または $B$ が起こる」という事象で，

$$A\cup B$$

で表す．

2.2　排反事象

例　さいころを1回だけ投げる場合

　事象A：奇数の目が出る → $A=\{1,3,5\}$
　事象B：2の目が出る 　→ $B=\{2\}$

　この2つの事象は同時には起こらない．このとき，事象AとBは互いに排反であるという．

　即ち排反とは，$A\cap B=\varnothing$ となるときをいう．

2.3　確率の基本性質

全部の場合　　　　：$n$ 通り(同様に確からしい)
事象Aの起こる場合：$a$ 通り

　$0\leqq a\leqq n$ であるから，

$$\frac0n\leqq \frac an\leqq \frac nn$$ $$\therefore 0\leqq P(A)\leqq 1$$

補足

　左辺の $\dfrac 0n$ 即ち $0$ は空事象の確率，右辺の $\dfrac nn$ 即ち $1$ は全事象の確率を表す．

確率の基本性質　$U$ を全事象，$A$ をある事象とするとき， $$\begin{align*} &[1]\ \ 0\leqq P(A) \leqq 1\\[5pt] &[2]\ \ P(\varnothing)\!=\!0,\ \ P(U)\!=\!1\\ \end{align*}$$

2.4　和事象の確率

$$n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$$

　この両辺を $n(U)$ で割ると，

$$\frac{n(A\cup B)}{n(U)}=\frac{n(A)}{n(U)}+\frac{n(B)}{n(U)}-\frac{n(A\cap B)}{n(U)}$$

$$\therefore P(A\cup B)=P(A)+P(B)+P(A\cap B)$$

　特に，事象 $A$ と事象 $B$ が同時に起こらない，すなわち排反のとき，$A\cap B=\varnothing$ であるから，$P(A\cap B)=0$．よって，

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$$

和事象の確率　2つの事象 $A,\ B$ について， $$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$ 　特に $A$ と $B$ が排反のとき， $$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$$

例題　さいころを1回投げるとき，偶数の目が出る，または4以上の目が出る確率を求めよ．

答

　全事象U：$U=\{1,2,3,4,5,6\}$
　事象A「偶数の目が出る」：$A=\{2,4,6\}$
　事象B「4以上の目が出る」：$B=\{4,5,6\}$
　事象AかつB「偶数かつ4以上」：$A\cap B=\{4,6\}$

　確率はそれぞれ $$\begin{align*} P(A)&=\frac36=\frac12\\[5pt] P(B)&=\frac36=\frac12\\[5pt] P(A\cap B)&=\frac26=13 \end{align*}$$ 　よって， $$\begin{align*} P(A\cup B)&=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\[5pt] &=\frac12+\frac12-\frac13\\[5pt] &=\underline{\boldsymbol {\frac23}} \end{align*}$$

補足

　直接計算すれば，$A\cup B=\{2,4,5,6\}$ より， $$P(A\cup B)=\frac46=\underline{\boldsymbol{\frac23}}$$

2.5　余事象の確率

　事象 $A$ に対して，$A$ が起こらないという事象を $A$ の余事象といい，$\overline{A}$ で表す．

　$A\cap \overline{A}=\varnothing$ により $P(A\cap \overline{A})=0$ であるから，

$$P(A\cup \overline{A})=P(A)+P(\overline{A})$$

　また全事象を $U$ とすると，$A\cup\overline{A}=U$ であるから左辺は1となり，次の関係を得る：

$$P(A)=1-P(\overline{A})$$

例題　2つのさいころを同時に投げるとき，次の確率を求めよ．
(1) 出た目の和が4にならない．
(2) 出た目の積が偶数．

ポイント
　「$\cdots$ ではない確率」(否定的表現)
　「少なくとも $\cdots$ である確率」
　　→　余事象の確率を考えてみる．

(1)　和が4にならない事象を $A$ とすると，$\overline{A}$ は「和が4になる」という事象である．

$$P(\overline{A})=\frac3{36}=\frac1{12}$$

　よって求める確率 $P(A)$ は，

$$P(A)=1-P(\overline{A})=1-\frac1{12}=\underline{\boldsymbol{\frac{11}{12}}}$$

(2)　積が偶数になるのは，「少なくとも一方の目が偶数」のときである．この余事象は，「両方とも奇数の目が出る」であるから，余事象の確率は，$\dfrac9{36}=\dfrac14$．

　従って求める確率は，

$$1-\frac14=\underline{\boldsymbol{\frac34}}$$

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