9．素因数分解の一意性(ノート)

高校数学[総目次]

高校数学ワンポイント

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1. ファクシミリの原理	[会員]
2. バウムクーヘン分割	[会員]
3. 円と放物線
4. 垂線の長さ
5. 不定方程式
6. 関数の連続性は導関数に遺伝するか
7. 極方程式における $r$ の正負について
8. 極座標表示における扇形分割積分
9. 素因数分解の一意性
10. 三角関数の不定積分
11. コーシー・シュワルツの不等式
12. 放物線と2接線で囲まれた部分の面積
13. 整式の除法(発展編)
14. 3次関数のグラフの特徴
15. 曲線の長さを求める公式の証明について
16. もう迷わない！必要条件・十分条件のくすっと笑える判定方法

9．素因数分解の一意性

　$1,2,3,\cdots$ を自然数といいます．このうち1と自分自身しか約数をもたない数を素数といいますが，1だけは素数に含みません．具体的には $2,3,5,7,\cdots$ という数で，素数は無限にあることが知られています．素数と1以外の自然数を合成数といいます．合成数を素因数の積に分解することを素因数分解といいます．例えば，

\[6=2\times3,\ 15=3\times5,\ 18=2\times3^2\]

等々．中学生，あるいは小学生の時から慣れ親しんでいるものでしょうが，次の問いはどうでしょう？

Q1.　どんな合成数も素因数の積に分解できるのか？
Q2.　できるとすれば，分解の仕方は1通りか？

　Q1 は合成数の「分解の可能性」について，Q2 は「分解の一意性」についてですが，答えはどちらもYESです．では証明は？と聞かれたらどうでしょう．教科書でも見たことがありません．

　以下，これらについて証明していきます．尚，本稿では数といえば自然数(1以上の整数)であるとします．

9.1 分解の可能性

定理　合成数は素数の積に分解できる．

証明

　数学的帰納法で示します．

1°　1番小さい合成数4は $2\times2$ と素数の積に分解できます．

2°　ある合成数を $n$ とし，$n$ より小さい合成数はすべて素数の積に分解できるとします．$n$ は合成数ですから，$n$ より小さな数 $a,b$ を用いて $n=ab$ と書き表すことができます．

　$a$ と $b$ が共に素数であれば，$n$ はもはや素数の積に分解できています．

　次に $a$ と $b$ の少なくとも一方が合成数の場合を考えます．$a$ が合成数としましょう．すると $a$ は $n$ より小さい数なので帰納法の仮定により，素数の積に分解できる数です．これは $b$ が合成数の場合でも同様です．

　以上により分解可能性が証明されました。

■

9.2 分解の一意性

定理　合成数を素数の積に分解する方法は，素因数の順序を無視すれば1通りである．

　定理中の「素因数の順序を無視すれば」というのは，例えば合成数6は $2\times3$ という分解と $3\times2$ という分解の2通りが考えられますが，いずれも素因数2と3が1度ずつ用いられて合成されています．この場合，素因数分解の方法は1通りであるとして区別しません．$p,q,r,s$ をすべて異なる素数としてある合成数 $n$ が

\[n=pq=rs\]

という具合に書ければ，上の主張は偽ということになりますが，そうはならないことを以下で証明します．

証明

　数学的帰納法で示します．

1°　1番小さい合成数4は，$4=2\times2=2^2$ で1通りです．

2°　$n$ を合成数とし，$n$ より小さい合成数の分解の一意性は保証されているとします．このとき，$n$ が素因数分解として2通りの表現ができたとしましょう：

$n=p\,q\,r\cdot \cdots=p’q’r’\cdot \cdots$　　(①)

ここで $p,q,r,\cdots$ や $p’,q’,r’,\cdots$ はすべて素数です．

　まず，$p\neq p’$ でなければなりません．何故というに，$p=p’$ ならば，①の各辺を $p$ で割ると

\[\frac np=q\,r\cdot \cdots=q’r’\cdot \cdots\]

となりますが，$\dfrac np$ は $n$ より小さな数ですから帰納法の仮定により分解の方法は1通りです．即ち

\[q\,r\cdot \cdots=q’r’\cdot \cdots\]

の両辺は全く同じ素数の積となっており，$n$ の素因数分解が2通りあったということに反します．これで $p\neq p’$ であることがわかりました．同様にして，$p’$ は $q,\ r,\ \cdots$ のいずれとも異なります．

　今 $p>p’$ であったとしておきます．

　次に，$n$ から $p’q\,r\cdot\cdots$ を引いてみます．①の中辺と右辺は

\[(p-p’)q\,r\cdot\cdots=p'(q’r’\cdot\cdots-q\,r\cdot\cdots)\]

となります．右辺の先頭に素数 $p’$ がありますが，先ほど確認したように左辺の $q,r,\cdots$ のいずれの素数とも異なりますから $p-p’$ の約数となるしかありません．するとある数 $s$ を用いて

\[p-p’=p’s\]

と書けますが，この式より$p=p'(s+1)$ となって $p’$ が $p$ の約数になります．しかるにこれでは $p$ と $p’$ が異なる素数であるとしたことに矛盾してしまいます．

　結局 $n$ の分解の方法が2通りあるという仮定がまずいということがわかり，証明が完了です．

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