11. コーシー・シュワルツの不等式

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高校数学ワンポイント

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1. ファクシミリの原理	[会員]
2. バウムクーヘン分割	[会員]
3. 円と放物線
4. 垂線の長さ
5. 不定方程式
6. 関数の連続性は導関数に遺伝するか
7. 極方程式における $r$ の正負について
8. 極座標表示における扇形分割積分
9. 素因数分解の一意性
10. 三角関数の不定積分
11. コーシー・シュワルツの不等式
12. 放物線と2接線で囲まれた部分の面積
13. 整式の除法(発展編)
14. 3次関数のグラフの特徴
15. 曲線の長さを求める公式の証明について
16. もう迷わない！必要条件・十分条件のくすっと笑える判定方法
17. 同じものを含む円順列の考え方
18. $f(f(x))=x$ の形をした関数方程式の取り扱い方
19. パラメータが2次で表された直線の通過領域
20. 四面体の面上及び内部を表すベクトル

11．コーシー・シュワルツの不等式

1．コーシー・シュワルツの不等式(ベクトル形)

　有名不等式として真っ先に思いつくのは，相加・相乗平均の関係式 でしょうが，次に挙げるコーシー・シュワルツの不等式も，名前こそ教科書には出てこないものの，この不等式が背後にあるといった問題は時折見かけます．また，単にシュワルツの不等式と呼ばれることも多いです．

---

　空間内の2つのベクトル $\overrightarrow{\mathstrut a},\overrightarrow{\mathstrut b}$ のなす角を $\theta$ とすると，

$$\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}=|\overrightarrow{\mathstrut a}|\,|\overrightarrow{\mathstrut b}|\cos\theta$$

ですが，$-1\leqq\cos\theta\leqq1$ ですから

$$-|\overrightarrow{\mathstrut a}|\,|\overrightarrow{\mathstrut b}|\leqq\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}\leqq|\overrightarrow{\mathstrut a}|\,|\overrightarrow{\mathstrut b}|$$

即ち

$$(0\leqq)\ |\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}|\leqq|\overrightarrow{\mathstrut a}|\,|\overrightarrow{\mathstrut b}|$$

となります．従って

$$|\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}|^2\leqq|\overrightarrow{\mathstrut a}|^2\,|\overrightarrow{\mathstrut b}|^2$$

が成り立ちます．$\overrightarrow{\mathstrut a}=(a_1,a_2,a_3)$，$\overrightarrow{\mathstrut b}=(b_1,b_2,b_3)$ として，両辺を成分で表せば，次のコーシー・シュワルツの不等式が得られます：

コーシー・シュワルツの不等式 　$a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3$ を実数とするとき， $$(a_1b_1\!+\!a_2b_2\!+\!a_3b_3)^2\!\leqq\!({a_1}^2\!+\!{a_2}^2\!+\!{a_3}^2)({b_1}^2\!+\!{b_2}^2\!+\!{b_3}^2)$$ が成り立つ．
　等号成立は，$a_1=a_2=a_3=0$，または $b_1=b_2=b_3=0$，または $$\frac{b_1}{a_1}=\frac{b_2}{a_2}=\frac{b_3}{a_3}$$ が成り立つときで，分母，分子の一方が0のとき，他方も0となる．

　等号が成立するのは $a_1=a_2=a_3=0$，または $b_1=b_2=b_3=0$ のときは当然として，それ以外の場合は $|\overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}|=|\overrightarrow{\mathstrut a}|\,|\overrightarrow{\mathstrut b}|$ が成り立つ場合です．内積の定義に立ち返ると $|\cos\theta|=1$ となるときで，それは $\theta=0^\circ$ か $180^\circ$ のときです．このとき2つのベクトル $\overrightarrow{\mathstrut a},\overrightarrow{\mathstrut b}$ は平行ですから，$\overrightarrow{\mathstrut b}=k\overrightarrow{\mathstrut a}$ となる実数 $k$ が存在し，成分で書き表すと，

$$(b_1,b_2,b_3)=k(a_1,a_2,a_3)$$

従って

$$b_1=ka_1,\ b_2=ka_2,\ b_3=ka_3\ \ \cdots\mbox{①}$$

です．$a_1,a_2,a_3$ がいずれも0でなければ

$$\frac{b_1}{a_1}=k,\ \frac{b_1}{a_1}=k,\ \frac{b_1}{a_1}=k$$

となって

$$\frac{b_1}{a_1}=\frac{b_2}{a_2}=\frac{b_3}{a_3}$$

を得ます．どれか1つの成分が0であれば，対応する成分も0でなければならないことは，①を見れば理解できます．

補足

　実はこの不等式は

$$\begin{align*} (a_1b_1+&a_2b_2+\cdots+a_nb_n)^2\\[5pt] &\leqq({a_1}^2+{a_2}^2+\cdots+{a_n}^2)({b_1}^2+{b_2}^2+\cdots+{b_n}^2) \end{align*}$$

というように任意の自然数 $n$ でも成り立ちます．

例題　$x+2y+3z=4$ のとき，$x^2+y^2+z^2$ の最小値を求めよ．

答

　いろいろな解法が考えられますが，コーシー・シュワルツの不等式を使ってみます．

　$\overrightarrow{\mathstrut a}=(1,2,3)$，$\overrightarrow{\mathstrut b}=(x,y,z)$ として，

$$\begin{align*} \overrightarrow{\mathstrut a}\cdot\overrightarrow{\mathstrut b}&=x+2y+3z\\[5pt] |\overrightarrow{\mathstrut a}|^2&=1^2+2^2+3^2\\[5pt] |\overrightarrow{\mathstrut b}|^2&=x^2+y^2+z^2 \end{align*}$$

となりますから，コーシー・シュワルツの不等式により

$$(x+2y+3z)^2\leqq(1^2+2^2+3^2)(x^2+y^2+z^2)$$

$$\therefore 4^2\leqq 14(x^2+y^2+z^2)$$

$$\therefore x^2+y^2+z^2\geqq\frac{16}{14}=\frac87$$

　等号が成立するのは，

$\dfrac x1=\dfrac y2=\dfrac z3$ かつ $x+2y+3z=4$

　即ち $x=\dfrac27,\ y=\dfrac47,\ z=\dfrac67$ のときです．

　従って $\boldsymbol{x=\dfrac27,\ y=\dfrac47,\ z=\dfrac67}$ のとき，最小値 $\boldsymbol{\dfrac27}$ をとることがわかります．

2．コーシー・シュワルツの不等式(積分形)

　まず次の例題をご覧ください．

例題　$p,q$ を定数とするとき，次の不等式を証明せよ．
$$\left(\int_0^1\!\!(x\!+\!p)(x\!+\!q)dx\right)^2\!\leqq\!\int_0^1\!\!(x\!+\!p)^2dx\int_0^1\!\!(x\!+\!q)^2dx$$

　これを単なる計算問題とみれば，次のように証明されます：

$$(\mbox{左辺})=\cdots=\left(\frac13+\frac{p+q}2+pq\right)^2$$

　また右辺については

$$\begin{align*} &\int_0^1(x+p)^2dx=\cdots=\frac13+p+p^2\\ &\int_0^1(x+q)^2dx=\cdots=\frac13+q+q^2\\ \end{align*}$$

　となり，

$$(\mbox{右辺})-(\mbox{左辺})=\cdots=\frac1{12}(p-q)^2\geqq0$$

として証明が完了します．等号成立は $p=q$ のときです．

　さて、次が積分形のコーシー・シュワルツの不等式です．

コーシー・シュワルツの不等式 　閉区間 $[a,b]$ で連続な関数 $f(x),g(x)$ について， $$\left(\int_a^b\!\!f(x)g(x)dx\right)^2\leqq\int_a^b\!\!\{f(x)\}^2dx\int_a^b\!\!\{g(x)\}^2dx.$$ が成り立つ．等号成立は，$a\leqq x\leqq b$ で常に $f(x)=0$，又は $g(x)=0$，又は $g(x)=tf(x)\ (t$ は定数)のとき．

　この定理を認めるならば，先の例題は，この不等式において $f(x)=x+p$，$g(x)=x+q$，$a=0$，$b=1$ とした特別な場合にすぎないことがわかります．

証明

　それでは証明を見ていきましょう．

　$a\leqq x\leqq b$ で常に $f(x)=0$，または $g(x)=0$ のとき，コーシー・シュワルツの不等式の両辺はともに0となりますから成り立ちます．従って以下では $f(x)$ も $g(x)$ も恒等的に0でない場合を考えます．

　$t$ を実数として，常に $\{tf(x)+g(x)\}^2\geqq0$ ですから，

$$\int_a^b\!\!\{tf(x)+g(x)\}^2dx\geqq0$$

が成り立ちます．詳しくはこちらの定理 を確認してください．これが任意の $\boldsymbol{t}$ で常に成り立つという事実があとで効いてきます．

　展開すると，

$$\int_a^b(t^2f^2+2tfg+g^2)dx\geqq0$$

※ $f(x),g(x)$ のうしろの「$(x)$」を省略しました．

となります．

　次に積分を分けます．積分変数は $x$ ですから，$t$ は定数扱いです．よって積分の前に出しておきます．

$$t^2\!\int_a^b\!\{f(x)\}^2dx\!+\!2t\!\int_a^b\!\!f(x)g(x)dx\!+\!\int_a^b\!\{g(x)\}^2dx\!\geqq\!0$$

　この式の定積分はすべて定数です．いま見やすさのために，$\displaystyle{A\!=\!\int_a^b\!\!\{f(x)\}^2dx}$，$\displaystyle{B\!=\!\int_a^b\!\!f(x)g(x)dx}$，$\displaystyle{C\!=\!\int_a^b\!\!\{g(x)\}^2dx}$ とおきますと，

$$At^2+2Bt+C\geqq0\ \ \cdots\mbox{①}$$

という具合にすっきりと書けます．これは常に成り立つ不等式であることを再度強調しておきます．

　$f(x)$ は恒等的に0ではありませんから $A>0$ です．(詳しくはこちらの定理 を確認してください．）従って①は，任意の実数 $t$ で成り立つ2次の不等式です．すると係数$A$，$B$，$C$ の間には，$t$ の2次方程式 $At^2+2Bt+C=0$ の判別式を $D$ としたとき，$D/4\leqq0$，即ち

$$B^2-AC\leqq0$$

$$\therefore B^2\leqq AC$$

という関係が成り立っているはずです．これはコーシー・シュワルツの不等式に他なりません．

　等号が成立する場合，即ち $B^2= AC$ が成り立つ場合を考えてみましょう．

　放物線 $y=At^2+2Bt+C$ は，先ほど強調したように $y\geqq0$ が保証されていました．

　もし $D/4=B^2-AC<0$ ならば，$y>0$ となり，放物線は $t$ 軸より上側にあります．

　一方，私たちが関心のある $B^2=AC$ 即ち $(D/4=)B^2-AC=0$ であれば，放物線 $y=At^2+2Bt+C$ はある $t=t_0$ で $t$ 軸に接しています．これは $A{t_0}^2+2Bt_0+C=0$ となる実数 $t_0$ が存在しているということで，元をたどれば

$$\int_a^b\!\!\{t_0f(x)+g(x)\}^2dx=0$$

が成り立っているということですから，閉区間 $[a,b]$ で常に $t_0f(x)+g(x)=0$，つまり $g(x)=-t_0f(x)$ が成り立つときです．詳しくはこちらの定理 の等号成立条件を確認してください．

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