極座標表示における扇形分割積分(ノート)

　点Oを極とする極座標表示で表された曲線上の点をPとするとき，線分OPの通過領域の面積を求める際に，強力な威力を発揮するのが扇型分割による積分です．ここではこの積分公式の証明を行います．

高校数学ワンポイント

	スライド	ノート
1. ファクシミリの原理	[会員]
2. バウムクーヘン分割	[会員]
3. 円と放物線
4. 垂線の長さ
5. 不定方程式
6. 関数の連続性は導関数に遺伝するか
7. 極方程式における $r$ の正負について
8. 極座標表示における扇形分割積分
9. 素因数分解の一意性
10. 三角関数の不定積分
11. コーシー・シュワルツの不等式
12. 放物線と2接線で囲まれた部分の面積
13. 整式の除法(発展編)
14. 3次関数のグラフの特徴
15. 曲線の長さを求める公式の証明について
16. もう迷わない！必要条件・十分条件のくすっと笑える判定方法
17. 同じものを含む円順列の考え方
18. $f(f(x))=x$ の形をした関数方程式の取り扱い方
19. パラメータが2次で表された直線の通過領域
20. 四面体の面上及び内部を表すベクトル

1．扇形分割の積分公式

　極座標において，O を極，P

$(r,\theta)$ とする．

$\theta=\alpha$ から

$\theta=\beta$ まで線分OP が通過する面積は，

$\int_\alpha^\beta\!\frac 12r^2d\theta$

証明

　図の斜線部分の面積を $S(\theta)$ とします． $\theta$ が微小量 $\Delta\theta(>0)$ だけ変化したときの面積の変化量は， $\theta$ から $\theta+\Delta\theta$ までの $r$ の最大値，最小値をそれぞれ $M,m$ とすると $\frac 12m^2\Delta\theta\leqq S(\theta+\Delta\theta)-S(\theta)\leqq \frac 12M^2\Delta\theta.$

となります．正の数 $\Delta \theta$ で各辺を割ると $\frac 12m^2\leqq \frac{S(\theta+\Delta\theta)-S(\theta)}{\Delta\theta}\leqq \frac 12M^2.$ 　ここで $\Delta\theta\to +0$ とすると， $M\to r,\ m\to r$ となりますから，はさみうちの原理により

(中辺)

$\to\dfrac 12r^2\ \ (\Delta \theta\to +0)$

となります． $\Delta\theta < 0$ のときも同様ですから結局

(中辺)

$\to\dfrac 12r^2\ \ (\Delta \theta\to 0)$

です．ところで，中辺において $\Delta \theta\to 0$ とした式 $\lim_{\theta\to0}\frac{S(\theta+\Delta\theta)-S(\theta)}{\Delta\theta}$ は， $S'(\theta)$ の定義式に他なりません．つまり， $S'(\theta)=\frac 12r^2$ であることがわかりました．従って求める面積は， $\begin{align*} S(\beta)-S(\alpha)&=\Bigl[S(\theta)\Bigr]_\alpha^\beta\\[5pt] &=\int_\alpha^\beta\!S'(\theta)\,d\theta\\[5pt] &=\int_\alpha^\beta\!\frac 12r^2\,d\theta. \end{align*}$

■

2．応用例

　扇形分割の積分公式を使って面積を求めてみましょう．この公式が使えるケースは

極方程式として $r=f(\theta)$ が与えられている場合
点 $(x,y)$ が $r=f(\theta)$ として $(x,y)=(r\cos\theta,r\sin\theta)$ と書ける，即ち $\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)=f(\theta)\left(\begin{array}{c}\cos\theta\\ \sin\theta\end{array}\right)$ と極座標表示できる場合

です．

Q.　

$xy$ 平面上の曲線

$C:x=e^{-\theta}\cos \theta,\$

$y=e^{-\theta}\sin \theta\$

$(0\leqq \theta\leqq \pi)$ と

$x$ 軸とで囲まれる部分の面積

$S$ を求めよ．

解法の指針

　 $f(\theta)=e^{-\theta}$ として， $\left(\begin{array}{c}x\\y\end{array}\right)=f(\theta)\left(\begin{array}{c}\cos\theta\\ \sin\theta\end{array}\right)$ と表すことができますから，扇形分割の積分公式が使えます．

答

$r^2=e^{-2\theta}(\cos^2\theta+\sin^2\theta)=e^{-2\theta}$ となりますから， $\begin{align*} S&=\int_0^\pi\!\frac12 e^{-2\theta}\,d\theta\\[5pt] &=\Bigl[-\frac14e^{-2\theta}\Bigr]_0^\pi\\[5pt] &=\boldsymbol{\frac{1-e^{-2\pi}}4}\ \ \cdots(\mbox{答}) \end{align*}$

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5. 不定方程式
6. 関数の連続性は導関数に遺伝するか
7. 極方程式における $r$ の正負について
8. 極座標表示における扇形分割積分
9. 素因数分解の一意性
10. 三角関数の不定積分
11. コーシー・シュワルツの不等式
12. 放物線と2接線で囲まれた部分の面積
13. 整式の除法(発展編)
14. 3次関数のグラフの特徴
15. 曲線の長さを求める公式の証明について
16. もう迷わない！必要条件・十分条件のくすっと笑える判定方法
17. 同じものを含む円順列の考え方
18. $f(f(x))=x$ の形をした関数方程式の取り扱い方
19. パラメータが2次で表された直線の通過領域
20. 四面体の面上及び内部を表すベクトル