高校数学[総目次]
数学Ⅲ 第1章 極限
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| 1. 数列の極限 | [無料] | |
| 2. 無限等比数列 | [無料] | |
| 3. 無限級数 | [会員] | |
| 4. 無限等比級数 | [会員] | |
| 5. 関数の極限 | [会員] | |
| 6. (sin x)/x の極限 | [会員] | |
| 7. 関数の連続性 | [会員] |
5.0 いくつかの例
例1
Q. $f(x)=x+1$ で，$x\to1$ のとき $f(x)\to ?$
A. $f(x)\to f(1)=2.$
例2
Q. $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$ で，$x\to 1$ のとき $f(x)\to ?$
A. $f(x)=\dfrac{(x+1)(x-1)}{x-1}=x+1\to 2.$
5.1 関数の極限
関数 $f(x)$ において，$x$ が $a$ と異なる値をとりながら限りなく $a$ に近付くとき，それに伴って $f(x)$ が限りなく $\alpha$ に近付く場合，「 $f(x)$ は $x\to a$ のとき $\alpha$ に収束する」といい， \[ \begin{array}{cl} &\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\alpha,\\ \mbox{または}& x\to a\mbox{のとき}f(x)\to\alpha,\\ \mbox{または}& f(x)\to\alpha\ (x\to a) \end{array}\] で表す．また，$\alpha$ を $x\to a$ のときの $f(x)$ の極限値という．
注意
① $x\to a$ は「 $x$ が $a$ と異なる値をとりながら $a$
に近付く」のであって，「$x=a$ になる」ということではない．
② 従って（上の例2からもわかるように），$f(a)$ が定義されていなくても $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)$ が存在する場合がある．
補足
数列の極限（$\cdots$①）と関数の極限（$\cdots$②）の違い
① $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n$：$n$ が自然数値をとりながら限りなく大きくなるときの$\{a_n\}$の挙動．
② $\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)$：$x$ が実数値をとりながら限りなく $a$ に近付くときの $f(x)$ の挙動．
5.2 関数の極限値の性質
数列の場合と同様な性質が関数の極限でも成り立つ．もっとも数列のときがそうであったように，現段階では証明する手立てがない．いわゆる $\varepsilon -\delta$ 論法と呼ばれる考え方が必要で，大学での学びを待たなくてはならない．
$\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)=\alpha,\ \lim_{x\to a}g(x)=\beta$ のとき，
① $\displaystyle\lim_{x\to a}\{kf(x)+lg(x)\}=k\alpha+l\beta$ ($k,\ l$ は定数）
② $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)g(x)=\alpha\beta$
③ $\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac \alpha\beta$ （ただし，$\beta\neq 0$）
5.3 不定形の極限
不定形を解消してから極限をとる．
例
Q. $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac 1{x^2}\left(x-\frac x{x+1}\right)\
(=\infty\cdot 0\ \ ??) $
A. $\dfrac 1{x^2}\left(x-\dfrac x{x+1}\right)=\dfrac
1{x^2}\cdot\dfrac{x^2}{x+1}=\dfrac1{x+1}\to 1\ (x\to 0)$
※ $h(x)=f(x)g(x)$ とおくと，$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)g(x)$ は，$\displaystyle\lim_{x\to a}h(x)$ であって，$f(x),\ g(x)$ をそれぞれ独立に極限操作してはならない．そうしてもよいのは $f(x),\ g(x)$ がともに収束するときだけ！（性質②）
次の性質はしばしば用いられる：
$\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\alpha$（収束），かつ $\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=0$ ならば， \[\lim_{x\to a}f(x)=0. \]
証明
$x\to a$ のとき，$\dfrac{f(x)}{g(x)},\ g(x)$ がともに収束するから， \[ \lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}\cdot g(x)=\alpha\cdot 0=0 \]
■
例題 $\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{a\sqrt x +b}{x-1}=2$ のとき，$a,\ b$ の値を求めよ．
答
$x\to 1$ のとき，$\dfrac{a\sqrt x +b}{x-1}$ が収束し，かつ分母が $x-1\to 0$ となるから，$\displaystyle\lim_{x\to 1}(a\sqrt x+b)=0$（$\cdots$①）が必要．
よって，$a+b=0\ \therefore b=-a$．
故に， \[\lim_{x\to 1}\frac{a\sqrt x+b}{x-1}=\lim_{x\to 1}\frac{a(\sqrt x -1)}{x-1}=\lim_{x\to 1}\frac a{\sqrt x+1}=\frac a2.\] これが2に等しいから，$a=4.\ \therefore b=-4.$ ($\cdots$②)
補足
①は確かに $\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{a\sqrt x +b}{x-1}=2$ であるための必要条件．というのも，$\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{a\sqrt x+b}{x-1}$ の極限値の存在を仮定して導いたが，その値が2であることは用いていない．しかし②のところで，極限値が2であるように $a$ と $b$ を調整したのであるから，この時点で十分性も大丈夫．
5.4 関数の極限が発散するとき
$x\to a$ のとき，$f(x)$ が限りなく大きくなる場合，「$x\to
a$ のとき，$f(x)$ は正の無限大に発散する」といい，
\[\begin{align*}
&\lim_{x\to a}f(x)=\infty ,\\
\mbox{または}\ &x\to a\mbox{のとき，}f(x)\to\infty ,\\
\mbox{または}\ &f(x)\to\infty \ (x\to a)
\end{align*}\]
と書く．
同様に，$x\to a$ のとき，$f(x)<0$ で，$|f(x)|$ が限りなく大きくなるとき，「$x\to a$ のとき，$f(x)$ は負の無限大に発散する」という．（要するに，「限りなく小さくなる場合」だが，0に限りなく近付く場合との混乱を避けるため，このような表現となっている．）
\[ \lim_{x\to a}f(x)=\alpha\ (\mbox{収束}),\ \lim_{x\to a}f(x)=\infty,\ \lim_{x\to a}f(x)=-\infty \]のいずれでもない場合，$x\to a$ のときの $f(x)$ の極限はないという．
注意
極限がない，というのは $\displaystyle\lim_{x\to 0}\sin \frac 1x$ のような振動する場合だけではない．（次の右側極限と左側極限を参照．）
5.5 右側極限と左側極限
$x$ が $a$ より大きい値をとりながら限りなく $a$ に近付くとき，$x\to a+0$ と書く．同様に，$x$ が $a$ より小さい値をとりながら限りなく $a$ に近付くとき，$x\to a-0$ と書く．
特に，$a=0$ のときはそれぞれ $x\to +0$，$x\to -0$ と書く． $x\to a+0$ のときの $f(x)$ の極限を，「$x$ が $a$ に限りなく近付くときの右側極限」といい，$\displaystyle\lim_{x\to a+0}f(x)$ と書く．
同様に，$x\to a-0$ のときの$f(x)$ の極限を，「$x$ が $a$ に限りなく近付くときの左側極限」といい，$\displaystyle\lim_{x\to a-0}f(x)$ と書く．
$x$ が $a$ と異なる値をとりながら限りなく $a$ に近付く方法はいろいろある．（注意：右側と左側の2通りしかないのでは？ということではない．「方向」を言っているのではなく，具体的にどのような値をとりながら近付くかを考えている．）
例えば，$x\to 0$ のとき，次の数列$\{x_n\}$ はみな限りなく0に近付いていく：
\[x_n=\frac 1n,\ \frac1{2n},-\frac 1{3n},\ (-1)^n\frac 1n.\]
$x\to a$ というのは $a$ に限りなく近付くあらゆる近付き方を含んだ表現であり，従って
\[\lim_{x\to a}f(x)=\alpha \]というのは「$x$ が $a$ と異なる値をとりながら限りなく $a$ に近付くどのような近付き方をしても $f(x)$ は $\alpha$ に限りなく近付く」ということ，即ち$\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=a$ であるどんな数列$\{x_n\}$ についても
\[ \lim_{n\to\infty} f(x_n)=\alpha\]
となることを意味している．
このように「$x\to a$」の意味を捉え直すと，次の定理が了解される：
定理 \[\begin{align*} \lim_{x\to a+0}&f(x)\ \mbox{と}\ \lim_{x\to a-0}f(x)\ \mbox{が異なる}\\ &\Longrightarrow\ x\to a\mbox{ のときの}\ f(x) \mbox{の極限はない} \end{align*}\]
例
$x$ 以下の最大の整数を $[x]$ （ガウス記号という）で表す．（$[0.4]=0,\ [2]=2,\ [-1.5]=-2$ など．）
$f(x)=[x]$ とおくと，例えば \[\begin{align*} &0\leqq x<1\ \mbox{で}\ f(x)=0\\ &1\leqq x<2\ \mbox{で}\ f(x)=1 \end{align*}\] であるから， \[\lim_{x\to 1-0}f(x)=0,\ \lim_{x\to 1+0}f(x)=1\] 従って，$x\to 1$ のときの $f(x)$ の極限はない．
補足
「$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\alpha\ \Longrightarrow\ \lim_{x\to a+0}f(x)=\lim_{x\to a-0}f(x)=\alpha$」は当然成立するが，実は逆も成立し，従って次が成り立つ：
\[\lim_{x\to a}f(x)=\alpha \iff\ \lim_{x\to a+0}f(x)=\lim_{x\to a-0}f(x)=\alpha \]
5.6 $x\to \infty,\ x\to -\infty$ の極限
$x$ が実数値をとりながら限りなく大きくなるとき，それに伴って $f(x)$ が $\alpha$ に限りなく近付くとき， \[\lim_{x\to \infty}f(x)=\alpha \] と書く．$x\to -\infty$ の場合も同様．
例 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac 1x=0,\ \lim_{x\to -\infty}\frac 1x=0$
補足
$x\to\infty$ のときは，$x>0$ としてよい．同様に，$x\to -\infty$ のときは，$x<0$ としてよい．
例1 $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\sqrt{x^2}=\lim_{x\to -\infty}|x|=\lim_{x\to -\infty}(-x)=\infty$
例2 $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}(\sqrt{x^2+2x\ }+x)=?$
\[\begin{align*} \mbox{× 与式}&=\lim_{x\to -\infty}\frac{2x}{\sqrt{x^2+2x\ }-x}\\ &=\lim_{x\to -\infty}\frac {2x}{x\sqrt{1+\frac 2x\ }-x}\ \ \ \mbox{←ここがダメ}\\ &=\lim_{x\to -\infty}\frac 2{\sqrt{1+\frac 2x\ }-1}\\ &=\frac 2{\sqrt 1-1}=\frac 20\ (?)\\ \mbox{〇 与式}&=\lim_{x\to -\infty}\frac{2x}{\sqrt{x^2+2x\ }-x}\\ &=\lim_{x\to -\infty}\frac {2x}{|x|\sqrt{1+\frac 2x\ }-x}\\ &=\lim_{x\to -\infty}\frac {2x}{-x\sqrt{1+\frac 2x\ }-x}\\ &=\lim_{x\to -\infty}\frac 2{-\sqrt{1+\frac 2x}-1}\\ &=\frac 2{-\sqrt 1-1}=-1\\ \mbox{〇}\ \ \ \ x=&-t \mbox{とおくと，}x\to -\infty\mbox{のとき，}t\to\infty .\\ \therefore \mbox{与式}&=\lim_{t\to \infty}(\sqrt{t^2-2t\ }-t)\\ &=\lim_{t\to\infty}\frac{-2t}{\sqrt{t^2-2t\ }+t}\\ &=\lim_{t\to\infty}\frac{-2t}{t\sqrt{1-\frac 2t\ }+t}\\ &=\lim_{t\to\infty}\frac{-2}{\sqrt{1-\frac 2t\ }+1}\\ &=\frac{-2}{\sqrt 1+1}=-1 \end{align*}\]
5.7 関数の極限値の大小関係
数列の極限と同様に，関数の極限においても次が成立：
$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\alpha,\ \lim_{x\to a}g(x)=\beta$ とする．$x$ が $a$ に十分近いとき，
① 常に $f(x)\leqq g(x)$ $\Longrightarrow$ $\alpha\leqq\beta$
② 常に $g(x)\leqq h(x)\leqq g(x)$ かつ $\alpha =\beta$
$\Longrightarrow$ $\displaystyle\lim_{x\to a}h(x)=\alpha$（はさみうちの原理）
例 $\displaystyle\lim_{x\to 0}x\sin\frac 1x=$？
答
$0\leqq \left|\sin\dfrac 1x\right|\leqq 1$ により，常に $0\leqq \left|x\sin\dfrac 1x\right|\leqq |x|$ である．
$\displaystyle\lim_{x\to 0}|x|=0$ であるから，はさみうちの原理により \[\begin{align*} &\lim_{x\to 0}\left|x\sin\frac 1x\right|=0.\\ \therefore\ &\lim_{x\to 0}x\sin\frac 1x=0. \end{align*}\]
注意
①に関連して，「常に $f(x)< g(x)$ $\Longrightarrow$ $\alpha<\beta$」は正しくない．
反例
$f(x)=|x|,\ g(x)=2|x|$ とすれば，$x\neq 0$ のとき，常に $f(x)<g(x)$．しかるに $\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)=0$，$\displaystyle\lim_{x\to 0}g(x)=0$ であるから $\alpha=\beta$．
次の定理も重要：
十分に大きい $x$ で常に $f(x)\leqq g(x)$のとき，$\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty$ ならば，$\displaystyle\lim_{x\to\infty}g(x)=\infty .$（追い出しの原理）
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