5. 関数の極限(ノート)
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数学Ⅲ　第1章　極限

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5.0 いくつかの例

例題1　$\displaystyle{\lim_{x\to1}(x+1)}$ を求めよ．

　$\displaystyle{\lim_{x\to1}(x+1)}$ というのは，$x$ が1と異なる値を取りながら，限りなく1に近付くとき，$x+1$ がどのような値に近付いていくかを表したものである．ここで気を付けておかなければならないのは

$$x\to 1$$

の意味である．

　$x$ が1に近付くといってもその近付き方は無数にある．例えば

$$\begin{array}{ll} 1.1,\ 1.01,\ 1.001,\ 1.0001,\ \cdots &\to 1\\[5pt] 0.9,\ 0.99,\ 0.999,\ 0.9999,\ \cdots &\to 1\\[5pt] 1.1,\ 0.99,\ 1.001,\ 0.9999,\ \cdots &\to 1\\[5pt] \hspace{20mm}\vdots& \end{array}$$

などである．これら無数にある近付き方の総称が「 $x\to 1$ 」である．

　1に近付くときには大きな値や小さな値，正の数や負の数など，どのような値を取りながら近づいてもよいのだが，ただひとつ，1だけは途中一度たりともとってはならない．「最終的には1になる」というのも間違いであるのは言うまでもない．「$x\to1$」に終わりはなく，いつまでも1と異なる値を取りながら1に近付き続けるのだ．

　以上の2点を今後も注意深く意識しながら考えなければならない．

　さて，$x\to1$ について，少し細かい話から始めたが，実際に例題の答えを導き出すには次のグラフを持ち出すまでもなく，

$$\lim_{x\to1}(x+1)=2$$

となることに違和感はないであろう．

例題1の答え　$\displaystyle{\underline{\lim_{x\to1}(x+1)=2}}$

　しかしここでも注意しなければならないことがある．$\displaystyle\lim_{x\to1}(x+1)=2$ というのは， $x\to1$ のとき，関数 $x+1$ の値が2になるということを意味しない．正しくは「限りなく2に近付く」ということを意味する．次の例題2がこの状況の理解を助けてくれるであろう．

例題2　$\displaystyle{\lim_{x\to1}\dfrac{x^2-1}{x-1}}$ を求めよ．

　この分数関数は，分母に $x-1$ があるから $x-1\neq0$，すなわち $x=1$ では定義されない．しかし $x\neq1$ のところでは，

$$\dfrac{x^2-1}{x-1}=\dfrac{(x+1)(x-1)}{x-1}=x+1$$

となって，関数 $x+1$ と完全に一致する．従って $\dfrac{x^2-1}{x-1}$ のグラフは，$x+1$ のグラフから $x=1$ である点を除いた次のグラフになる：

　このグラフからもわかるように，$x\to1$ のとき，$\dfrac{x^2-1}{x-1}$ は限りなく2に近付く．しかし決して2にはなれない．

例題2の答え　$\displaystyle{\underline{\lim_{x\to1}\dfrac{x^2-1}{x-1}=2}}$

　極限値とはすなわち「目的値」である．どこに向かって関数が突き進んでいるのか，そのゴール地点を表したものが極限値なのだとイメージしておくと良いであろう．

5.1 関数の極限

　関数 $f(x)$ において，$x$ が $a$ と異なる値をとりながら限りなく $a$ に近付くとき，それに伴って $f(x)$ が限りなく $\alpha$ に近付く場合，「 $f(x)$ は $x\to a$ のとき $\alpha$ に収束する」といい，

で表す．また，$\alpha$ を $x\to a$ のときの $f(x)$ の極限値という．

注意

1. $x\to a$ は「 $x$ が $a$ と異なる値をとりながら $a$ に近付く」のであって，「$x=a$ になる」ということではない．
2. 従って（先の例題2からもわかるように），$f(a)$ が定義されていなくても $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)$ が存在する場合がある．

補足

数列の極限と関数の極限の違い

　数列の極限 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n$ は，$n$ が自然数の値をとりながら限りなく大きくなるときの $\{a_n\}$ の挙動を調べるのに対し，関数の極限 $\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)$ は，$x$ が実数値をとりながら限りなく $a$ に近付くときの $f(x)$ の挙動を調べている．

数列：番号 $n$ が大きくなるのときの $\{a_n\}$ の様子
関数：$x\to a$ のときの $f(x)$ の様子

5.2 関数の極限値の性質

　数列の極限の場合と同様な性質が，関数の極限でも成り立つ．もっとも数列の極限のときがそうであったように，現段階では証明する手立てがない．いわゆる $\varepsilon -\delta$ 論法と呼ばれる考え方が必要で，大学での学びを待たなくてはならない．

5.3 不定形の極限

　数列の性質 でも見たように，すぐ上にある関数の極限の性質①～③においても，2つの関数のうちの一方でも収束していなければ，これらの性質の成立は保証されない．例えば

$$\lim_{x\to 0}\frac 1{x^2}\left(x-\frac x{x+1}\right)$$

を考えてみると，$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac 1{x^2}=\infty$ となるし，$\displaystyle\lim_{x\to 0}\left(x-\frac x{x+1}\right)=0$ となるから，個別の極限をそのまま掛けると $\infty\times 0$ となって何のことだがよくわからない．(0を掛けるから0になるというのは間違い．確かに $x-\dfrac x{x+1}$ は $x\to0$ のときいくらでも0に近付くが，$\dfrac1{x^2}$ がそれを跳ね返すほど急激に大きくなっていくことも十分に考えられる．)

　この極限のように，それぞれの関数の極限を考えたとき，

$$\infty\cdot0,\hspace{5mm} \dfrac00,\hspace{5mm} \dfrac{\infty}{\infty}$$

といった形は，不定形の極限と呼ばれ，収束するかしないかは個別の関数によるし，また収束するにしても，どの値に収束するかはやはり個別の関数に依存する．不定形の極限を考える際は，変形を行って不定形を解消してから極限操作を行う．

　実はこの不定形の極限はここが初めてではない．例えば数学Ⅱで関数 $f(x)=x^2$ の $x=1$ での微分係数，すなわち $f'(1)$ を求める方法を学んだが，

$$f'(1)=\lim_{x\to1}\dfrac{x^2-1^2}{x-1}$$

という極限は $\dfrac00$ という形で，正に不定形の極限を考えていた訳である．

例題　$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac 1{x^2}\left(x-\frac x{x+1}\right)$ を求めよ．

　次の性質はしばしば用いられる：

　$\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\alpha$ (収束)，かつ $\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)=0$ ならば，
$$\lim_{x\to a}f(x)=0.$$

証明

　$x\to a$ のとき，$\dfrac{f(x)}{g(x)},\ g(x)$ がともに収束するから，

$$\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}\cdot g(x)=\alpha\cdot 0=0$$

■

例題　$\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{a\sqrt x +b}{x-1}=2$ のとき，$a,\ b$ の値を求めよ．

5.4 関数の極限が発散するとき

　$x\to a$ のとき，$f(x)$ が限りなく大きくなる場合，「$x\to a$ のとき，$f(x)$ は正の無限大に発散する」といい，

と書く．

　同様に，$x\to a$ のとき，$f(x)<0$ で，$|f(x)|$ が限りなく大きくなるとき，「$x\to a$ のとき，$f(x)$ は負の無限大に発散する」という．（要するに，「限りなく小さくなる場合」だが，単に限りなく小さくなると書くと，0に限りなく近付くとの誤解を避けるため，このような表現となっている．）

$\displaystyle{\lim_{x\to a}f(x)=\alpha}$ (収束), $\displaystyle{\lim_{x\to a}f(x)=\infty,\ \lim_{x\to a}f(x)=-\infty}$

のいずれでもない場合，$x\to a$ のときの $f(x)$ の極限はないという．

注意

　極限がない，というのは $\displaystyle\lim_{x\to 0}\sin \frac 1x$ のような振動する場合だけではない．（次の右側極限と左側極限を参照．）

5.5 右側極限と左側極限

　$x$ が $a$ より大きい値をとりながら限りなく $a$ に近付くとき，$x\to a+0$ と書く．同様に，$x$ が $a$ より小さい値をとりながら限りなく $a$ に近付くとき，$x\to a-0$ と書く．
　特に，$a=0$ のときはそれぞれ $x\to +0$，$x\to -0$ と書く． 　$x\to a+0$ のときの $f(x)$ の極限を，「$x$ が $a$ に限りなく近付くときの右側極限」といい，$\displaystyle\lim_{x\to a+0}f(x)$ と書く．
　同様に，$x\to a-0$ のときの$f(x)$ の極限を，「$x$ が $a$ に限りなく近付くときの左側極限」といい，$\displaystyle\lim_{x\to a-0}f(x)$ と書く．

　このページの冒頭の繰り返しになるが，$x$ が $a$ と異なる値をとりながら限りなく $a$ に近付く方法はいろいろある．（注意：右側と左側の2通りしかないのでは？ということではない．「方向」を言っているのではなく，具体的にどのような値をとりながら近付くかを考えている．）例えば，$x\to 0$ のとき，次の数列 $\{x_n\}$ は皆限りなく0に近付いていく：

$$x_n=\frac 1n,\ \frac1{2n},-\frac 1{3n},\ (-1)^n\frac 1n.$$

　$x\to a$ というのは $a$ に限りなく近付くあらゆる近付き方を含んだ表現であり，従って

$$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\alpha$$

というのは「$x$ が $a$ と異なる値をとりながら限りなく $a$ に近付くどのような近付き方をしても $f(x)$ は $\alpha$ に限りなく近付く」ということ，即ち$\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=a$ であるどんな数列$\{x_n\}$ についても

$$\lim_{n\to\infty} f(x_n)=\alpha$$

となることを意味している．

　例えば，$\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)$ を考えるとき，

$$f(1.1),\ f(1.01),\ f(1.001),\ f(1.0001),\ \cdots$$

というように $x\to1+0$ を考える場合と，

$$f(0.9),\ f(0.99),\ f(0.999),\ f(0.9999),\ \cdots$$

というように $x\to1-0$ を考える場合とで，$f(x)$ が近付く先が異なるならば，$x$ が1に近付くあらゆる近付き方で同じ値をとるという収束の条件が満たされていない．

　このように「$x\to a$」の意味を捉え直すと，次の定理が了解される：

定理$\displaystyle\lim_{x\to a+0}f(x)$ と $\displaystyle\lim_{x\to a-0}f(x)$ が異なる
$\Longrightarrow\ x\to a$ のときの $f(x)$ の極限はない

例題　$x$ 以下の最大の整数を $[x]$ で表す．例えば，$[0.4]=0$，$[2]=2$，$[-1.5]=-2$ などである．$f(x)=[x]$ とすると，$x\to 1$ のときの $f(x)$ の極限を調べよ．

※ 記号 [ ] (大カッコ)が，この例題と同じ意味で用いられるとき，この記号をガウス記号という．問題でこの記号が用いられる場合は，必ずその説明が与えられるはずである．

補足

「$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\alpha\ \Longrightarrow\ \lim_{x\to a+0}f(x)=\lim_{x\to a-0}f(x)=\alpha$」は当然成立するが，実は逆も成立し，従って次が成り立つ：

$$\lim_{x\to a}f(x)=\alpha \iff\ \lim_{x\to a+0}f(x)=\lim_{x\to a-0}f(x)=\alpha$$

5.6 $x\to \infty,\ x\to -\infty$ の極限

　$x$ が実数値をとりながら限りなく大きくなるとき，それに伴って $f(x)$ が $\alpha$ に限りなく近付くとき， $$\lim_{x\to \infty}f(x)=\alpha$$ と書く．$x\to -\infty$ の場合も同様．

例　$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac 1x=0,\ \lim_{x\to -\infty}\frac 1x=0$

補足

　$x\to\infty$ のときは，$x>0$ としてよい．同様に，$x\to -\infty$ のときは，$x<0$ としてよい．

例1　$\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\sqrt{x^2}=\lim_{x\to -\infty}|x|=\lim_{x\to -\infty}(-x)=\infty$

例2　$\displaystyle\lim_{x\to -\infty}(\sqrt{x^2+2x\ }+x)=?$

$$\begin{align*} \mbox{×　与式}&=\lim_{x\to -\infty}\frac{2x}{\sqrt{x^2+2x\ }-x}\\ &=\lim_{x\to -\infty}\frac {2x}{x\sqrt{1+\frac 2x\ }-x}\ \ \ \mbox{←ここがダメ}\\ &=\lim_{x\to -\infty}\frac 2{\sqrt{1+\frac 2x\ }-1}\\ &=\frac 2{\sqrt 1-1}=\frac 20\ (?)\\ \mbox{〇　与式}&=\lim_{x\to -\infty}\frac{2x}{\sqrt{x^2+2x\ }-x}\\ &=\lim_{x\to -\infty}\frac {2x}{|x|\sqrt{1+\frac 2x\ }-x}\\ &=\lim_{x\to -\infty}\frac {2x}{-x\sqrt{1+\frac 2x\ }-x}\\ &=\lim_{x\to -\infty}\frac 2{-\sqrt{1+\frac 2x}-1}\\ &=\frac 2{-\sqrt 1-1}=-1\\ \mbox{〇}\ \ \ \ x=&-t \mbox{とおくと，}x\to -\infty\mbox{のとき，}t\to\infty .\\ \therefore \mbox{与式}&=\lim_{t\to \infty}(\sqrt{t^2-2t\ }-t)\\ &=\lim_{t\to\infty}\frac{-2t}{\sqrt{t^2-2t\ }+t}\\ &=\lim_{t\to\infty}\frac{-2t}{t\sqrt{1-\frac 2t\ }+t}\\ &=\lim_{t\to\infty}\frac{-2}{\sqrt{1-\frac 2t\ }+1}\\ &=\frac{-2}{\sqrt 1+1}=-1 \end{align*}$$

5.7　関数の極限値の大小関係

　数列の極限と同様に，関数の極限においても次が成立する．

注意

　①に関連して，「常に $f(x)< g(x)$ $\Longrightarrow$ $\alpha<\beta$」は正しくない．

反例

　$f(x)=|x|,\ g(x)=2|x|$ とすれば，$x\neq 0$ のとき，常に $f(x)<g(x)$．しかるに $\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)=0$，$\displaystyle\lim_{x\to 0}g(x)=0$ であるから $\alpha=\beta$．

例題　$\displaystyle\lim_{x\to 0}x\sin\frac 1x$ の極限を求めよ．

　次の定理も重要で，しばしば「追い出しの原理」と呼ばれる．

（追い出しの原理）
　十分に大きい $x$ で常に $f(x)\leqq g(x)$のとき，$\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty$ ならば，$\displaystyle\lim_{x\to\infty}g(x)=\infty .$

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