3. 無限級数(ノート)
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高校数学[総目次]

数学Ⅲ　第1章　極限

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3．無限級数

3.0 無限級数とは

　数列$\{a_n\}$において， $$a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n+a_{n+1}+\cdots$$ を無限級数といい，$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$で表す．

疑問

　$a_n=(-1)^{n-1}$ のとき， $$1-1+1-1+1-\cdots$$ を考えると，
・$(1-1)+(1-1)+\cdots =0+0+\cdots =0$
・$1+(-1+1)+(-1+1)+\cdots =1+0+0\cdots =1$
など，足す順序によって極限が変わってくる．
　それでは $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ は一体何を意味するのであろうか．

3.1 無限級数の収束・発散

　数列$\{a_n\}$ の初めの $n$ 項の和 $a_1+a_2+\cdots +a_n$ を，第 $n$ 項までの部分和という．
　いま，部分和を $S_n$ とおいて，数列 $\{S_n\}$ を考える： $$\{S_n\}=\{S_1,\ S_2,\ S_3,\ \cdots\}$$ 　このとき $$\lim_{n\to\infty}S_n$$ が極限値 $S$ をもつとき，無限級数 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ は収束するといい，$S$ をこの無限級数の和という．
　$\{S_n\}$ が発散するとき，無限級数 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ は発散するという．

例

$$\frac 1{1\cdot2}+\frac 1{2\cdot3}+\frac 1{3\cdot4}+\cdots+\frac 1{n(n+1)}+\cdots$$
　第 $n$ 項までの部分和を $S_n$ とすると， $$\begin{align*} S_n&=\left(\frac 11-\frac 12\right)+\left(\frac 12-\frac 13\right)+\cdots+\left(\frac 1n -\frac 1{n+1}\right)\\ &=1-\frac 1{n+1} \end{align*}$$ 　よって，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n=1$．
　故に，この無限級数は収束し，和は1．

3.2 無限級数の性質

　数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$ について，$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n,\ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n$ が収束し，$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n\!=\!S,$ $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n\!=\!T$ のとき，
①　$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty k\,a_n=k\,S$　（$k$ は定数）
②　$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (a_n+b_n)\!=\!S\!+\!T,\ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty (a_n-b_n)\!=\!S\!-\!T$
③　$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty (k\,a_n\!+\!l\,b_n)\!=\!k\,S\!+\!l\,T$　(ただし，$k,\ l$ は定数)

3.3 無限級数が収束するための必要条件

　無限級数 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ の第 $n$ 項までの部分和を $S_n$ とする． $$\begin{array}{rlc} 　S_n&=a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}+a_n&\\ -)\ \ S_{n-1}&=a_1+a_2+\cdots+a_{n-1}&(n\geqq 2)\\ \hline S_n-S_{n-1}&=\hspace{42mm}a_n \end{array}$$ $$\therefore\ a_n=S_n-S_{n-1}\ \ (n\geqq 2)\ \cdots \mbox{①}$$

　いま，無限級数 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n$ が収束して，$S_n\to S\ (n\to\infty)$ とすれば，①の両辺の極限を考えて， $$\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}(S_n-S_{n-1})=S-S=0$$

まとめ 　無限級数 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n$ が収束する　$\Longrightarrow\ \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0$

注意

　逆，即ち $$\lim_{n\to\infty}a_n=0\ \Longrightarrow\ \sum_{n=1}^\infty a_n\ \mbox{は収束}$$ はいえない．

反例

　$a_n=\dfrac 1n$のとき，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=0$．しかるに，$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n=\infty$．

　この命題の対偶も真なので，次が成立：

$$\lim_{n\to\infty}a_n\neq 0\ \Longrightarrow\ \sum_{n=1}^\infty a_n\ \mbox{は発散する}$$

例1　$1-3+5-7+\cdots$

　$a_n=(-1)^{n-1}(2n-1)$ で，数列$\{a_n\}$ は0に収束しない．従って無限級数も収束しない．

例2　$\dfrac 13+\dfrac 24+\dfrac 35+\dfrac 46+\cdots$

　$a_n=\dfrac n{n+2}$ で，$a_n=\dfrac 1{1+\frac 2n}\to 1\ (n\to\infty)$となって0に収束しない．従って無限級数も収束しない．

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