2. 無限等比数列(ノート)
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数学Ⅲ　第1章　極限

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2．無限等比数列

2.1 $r^n$ の極限

　ここでの話題は等比数列である．初項 $a$，公比 $r$ の等比数列の一般項は $ar^{n-1}$ と表された．ここでは初項も公比も $r$ とした等比数列 $\{r^n\}$ の極限がどのようになるのかを見ていこう．

　例えば $r=2$ のとき，

$$2,\ 4,\ 8,\ 16,\ ,\cdots$$

となるから，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}2^n=\infty$ となる．この状況は $r$ が3や4でも同じ結果となろう．一方，$r=\dfrac12$ のとき，

$$\dfrac12,\ \dfrac14,\ \dfrac18,\dfrac1{16},\ \cdots$$

となるからとなるから，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\dfrac12\right)^n=0$ となる．この状況は $r$ が $\dfrac13$ や $\dfrac14$ でも同じ結果となろう．では $r=-\dfrac12$ の場合はどうか．

$$-\dfrac12,\ \dfrac14,\ -\dfrac18,\dfrac1{16},\ \cdots$$

となるから，符号を交互に変えながら0に収束する．

　こういった違いが生じる $r$ の条件は何かといえば，それは

$r$ の絶対値が１より大きいか小さいか

である．特別な場合として， $|r|=1$，すなわち $r=1$ または $-1$ の場合が残されている．以上の考察を踏まえて一般論を展開していこう．

　初項も公比も $r$ である無限等比数列

$$r,\ r^2,\ r^3,\ \cdots ,\ r^{n-1},\ \cdots$$

の極限を考える．

1. $r>1$ のとき
   　$r=1+h\ (h>0)$ とおくと $$\begin{align*} r^n&=(1+h)^n\\ &=\displaystyle{\sum_{k=0}^n {_n\rm{C}}_k\, h^k}\ \ (\because\mbox{二項定理})\\ &=1+nh+\frac{n(n-1)}2h^2+\cdots +h^n\\ &>nh\ \ (\because h>0). \end{align*}$$ 　ここで，$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}nh=\infty}$（$\because\ h$ は正の定数）であるから，追い出しの原理により，$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}r^n=\infty}$．
   ※二項定理についてはこちら
2. $r=1$ のとき
   　$r^n$ は常に1であるから， $$\lim_{n\to\infty}r^n=1．$$
3. $|r|<1$ のとき
   i) $r=0$ のとき，$r^n=0$ により， $$\lim_{n\to\infty}r^n=0．$$ ii) $r\neq 0$ のとき，$\left|\dfrac 1r\right|>1$ により $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac 1r\right|^n=\infty}$．（$\because$ 上の1.）
   　故に， $$\lim_{n\to\infty}\dfrac 1{\ \left|\dfrac 1r\right|^n}=0\ \ \therefore \lim_{n\to\infty}|r|^n=0.\ \ \cdots\ \mbox{①}$$ 　一方，$-|r|^n\leqq r^n\leqq |r|^n$ で，この左辺も $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\{-|r|^n\}=0}$（$\because$ ①）となるから，はさみうちの原理により， $$\lim_{n\to\infty}r^n=0.$$ 　i)，ii)から，$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}r^n=0}$．
4. $r\leqq -1$ のとき
   i) $r=-1$ のとき，$\{r^n\}$ は振動する．
   ii) $r<-1$ のとき，$-r=R$ とおくと，$R>1$ により $$\lim_{n\to\infty}R^n=\infty\ \ （\because\mbox{上の}1.)$$ であるが，$r^n=(-1)^nR^n$ により，$\{r^n\}$ は符号を交互に変える．
   　従ってこのときも振動する．

まとめ 　無限等比数列$\{r^n\}$ について $$\lim_{n\to\infty}r^n=\left\{ \begin{array}{ll} \infty & (r>1\ \mbox{のとき})\\ 1 &  (r=1\ \mbox{のとき})\\ 0 &  (|r|<1\ \mbox{のとき}) \end{array}\right.$$ 　$r\leqq -1$ のとき，$\{r^n\}$ は振動する．

例

$$\begin{align*} &\lim_{n\to\infty}1.001^n=\infty\\[5pt] &\lim_{n\to\infty}0.999^n=0\\[5pt] &\lim_{n\to\infty}(-0.5)^n=0 \end{align*}$$

　上のまとめにより，次の命題が成り立つ：

無限等比数列の収束条件 $$\lim_{n\to\infty}r^n\ \mbox{が収束する} \iff -1<r\leqq 1$$ 　特に $$\lim_{n\to\infty}r^n=0 \iff |r|<1\ (\iff -1<r<1)$$

例題　$a_n=(x^2+x-1)^n$ が収束する $x$ の値の範囲を求めよ．

答

　解答例を表示する

　$-1<x^2+x-1\leqq 1$ により
　前半：$x^2+x>0$　$\therefore x<-1,\ 0<x\ \cdots$①
　後半：$x^2+x-2\leqq 0$　$\therefore -2\leqq x\leqq 1\ \cdots$②
　①かつ②より，$\underline{-2\leqq x< -1,\ 0<x\leqq 1}$

2.2 初項と漸化式で定められる数列

例題　$a_1=2,\ a_{n+1}=\dfrac 12a_n+3$ のとき，数列$\{a_n\}$ の極限を求めよ．

答

　解答例を表示する

一般項は，$a_n=-4\left(\dfrac 12\right)^{n-1}+6$ となるから， $$\lim_{n\to\infty}a_n=6.$$

補足1

　$y=\dfrac 12 x+3$ と $y=x$ のグラフを考える：

　図のように，$a_{n+1}=\dfrac 12 a_n+3$ の極限値は，（もし存在すれば）2直線 $y=\dfrac 12 x+3$ と $y=x$ の交点の $x$ 座標を求める方程式 $$x=\frac 12 x+3$$ の解6である．

注意

$\{a_n\}$ が収束しないなら，交点が存在しても，その交点の $x$ 座標は当然 $\{a_n\}$ の極限値ではない．

例

　$a_1=\dfrac 34,\ a_{n+1}=2a_n-1$ の極限を求めよ．

　$x=2x-1,\ \therefore x=1$
　$a_n=-\dfrac 14\cdot 2^{n-1}+1\to -\infty\ (n\to\infty)$

補足

　$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha}$ とすれば，漸化式の両辺を $n\to\infty$ として

$\alpha=\dfrac 12\alpha+3.$（これを特性方程式という）

　よって，$\alpha=6$．

2.3 数列 $\left\{\frac {r^n}n\right\}\ (r>1)$ の極限

　$r=1+h\ (h>0)$ とおくと，十分大きな $n$ について $$\begin{align*} r^n&=(1+h)^n\\ &=\displaystyle{\sum_{k=0}^n {_n\rm{C}}_k\, h^k}\ \ (\because\mbox{二項定理})\\ &=1+nh+\frac{n(n-1)}2h^2+\cdots +h^n\\ &>\frac {n(n-1)}2h^2\ \ (\because h>0) \end{align*}$$ 　よって，$\dfrac{r^n}n>\dfrac{n-1}2h^2$．
　ここで，$n\to\infty$ のとき，(右辺) $\to\infty$ となるから $$\lim_{n\to\infty}\frac{r^n}n=\infty$$

補足

　$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac {r^n}n$ は $\dfrac\infty\infty$ の形であるが，$n$ が大きくなるにつれ，数列$\{r^n\}$ の方が，数列$\{n\}$ よりも急激に大きくなることを意味する．

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