1. 数列の極限(ノート)
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数学Ⅲ　第1章　極限

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1.1 収束と発散

　数列は数学Bで既に学習済みだが，数学Bでは数列の一般項や和に関する取扱いが中心であった．数学Ⅲでは，数列の番号 $n$ を大きくしていったときの数列の振る舞い，すなわち一定の値にどんどん近づいていくのか，果てしなく大きくなっていくのか，あるいは逆に小さくなっていくのか，などについての考察を行う．

　数列には，項がある番号で終了する有限数列と，いつまでも終わることなく項が無限に存在している無限数列に大別できる．私たちの考察の対象は専ら後者の無限数列の方である．例えば $a_n=\dfrac1n$ という無限数列 $\{a_n\}$ を考えよう．具体的には

$$1,\ \dfrac12,\ \dfrac13,\ \cdots,\ \dfrac1n,\ \cdots$$

である．この数列の番号 $n$ をどんどん大きくしていくと，$a_n=\dfrac1n$ は0に限りなく近付いていくであろう．このとき，数列$\{a_n\}$ は0に収束するといい，

$$\lim_{n\to\infty}a_n=0$$

と書き表す．

　一般に，数列 $\{a_n\}$ の番号 $n$ を限りなく大きくすると，$a_n$ が一定の値 $\alpha$ (アルファ)に限りなく近付くとき，

$$\lim_{n\to\infty} a_n=\alpha \hspace{5mm}\cdots(*)$$

で表し，このとき数列 $\{a_n\}$ は，$\alpha$ に収束するという．また，$\alpha$ を数列 $\{a_n\}$ の極限値という．
　一方，収束しないとき，還元すれば一定の値に近づいていかない数列$\{a_n\}$ は，発散するという．

補足

　$(*)$は

$n\to\infty$ のとき，$a_n\to\alpha$
または
$a_n\to\alpha\ (n\to\infty)$

とも書く．

収束する例

1. $a_n=\dfrac 5n+2$ のとき，$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}a_n=2.}$
2. $a_n=\dfrac n{2n+1}$ のとき，$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\dfrac1{2+\dfrac 1n}=\dfrac 12.}$

収束しない例

1. 正の無限大に発散する．（極限は $\infty$ )
   　$a_n=n,\ a_n=n^2,\ a_n=\log_2n$
   これらは $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}a_n=\infty}$
2. 負の無限大に発散する．（極限は $-\infty$ ）
   　$a_n=-n,\ a_n=-5n+7,\ a_n=-3^n$
   これらは $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}a_n=-\infty}$
3. 振動する． $$\begin{align*} &a_n=(-1)^n\ :\ {-1,\ 1,\ -1,\ 1,\ \cdots}\\[5pt] &a_n=\sin\dfrac \pi 2n\ :\ {1,\ 0,\ -1,\ 0,\ 1,\ \cdots} \end{align*}$$

注意

　「$\infty$」や「$-\infty$」は値ではない．よって，例えば $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}a_n=\infty}$ のとき，
　　　✕　数列$\{a_n\}$ の極限値は $\infty$．
　　　〇　数列$\{a_n\}$ の極限は $\infty$．
というように，$\infty$ や $-\infty$ を指して極限「値」とは言わない．

1.2 極限の性質

　収束する数列の極限について，次が成り立つ．

極限の性質
　数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$ が収束し，$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha},\ $$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}b_n=\beta}$ のとき，
　①　$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}ka_n=k\alpha$　（$k$ は定数）
　②　$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}(a_n\pm b_n)=\alpha\pm\beta$　（複号同順）
　③　$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}(ka_n+lb_n)=k\alpha+l\beta$　（$k,\ l$ は定数）
　④　$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}a_nb_n=\alpha\beta$
　⑤　$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}\dfrac{a_n}{b_n}=\dfrac \alpha\beta$　（$\beta\neq0$）

　これらは直感的に受け入れやすいものばかりであるが，厳密には証明が必要である．しかしながらこれらを証明するには高校数学の範囲では足りない．そこで雰囲気を少しだけ次のコラムで紹介みよう．

注意

　数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$ がともに収束していなければ，これらの性質は必ずしも成り立たない．例えば④の $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}a_nb_n=\alpha\beta$ について，収束するかしないかは $\{a_n\},\ \{b_n\}$ の内容次第である．例えば，次の3つの例は，いずれも$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}a_n=\infty,\ \lim_{n\to\infty}b_n=0}$ となっており，$\{a_n\}$ の方が発散している．（下の不定形の極限も参照．）

1. $a_n=n^2,\ b_n=\dfrac 1n$ のとき，$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}a_nb_n=\lim_{n\to\infty}n=\infty}$
2. $a_n=n,\ b_n=\dfrac 1n$ のとき，$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}a_nb_n=\lim_{n\to\infty}1=1}$
3. $a_n=n^2,\ b_n=-\dfrac 1n$ のとき，$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}a_nb_n=\lim_{n\to\infty}(-n)=-\infty}$

1.3 発散する無限数列を含む極限

　すぐ上の注意で見たように，発散する無限数列を含む極限には取り扱いに注意すべきものが多い．しかし以下に挙げるものは，極限がはっきりしているものばかりである．

発散する数列を含む極限すべて複号同順
①　$\displaystyle{\lim_{n\to\infty} a_n=\pm\infty,\ \lim_{n\to\infty} b_n=\pm\infty}$ のとき， $$\lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=\pm\infty$$ ②　$\displaystyle{\lim_{n\to\infty} a_n=\pm\infty,\ \lim_{n\to\infty} b_n=\pm\infty}$ のとき， $$\lim_{n\to\infty}a_nb_n=\infty$$ ③　$\displaystyle{\lim_{n\to\infty} a_n=\pm\infty,\ \lim_{n\to\infty} b_n=\mp\infty}$ のとき， $$\lim_{n\to\infty}a_nb_n=-\infty$$ ④　$k > 0,\ \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\pm\infty$ のとき， $$\lim_{n\to\infty}k a_n=\pm\infty$$ ⑤　$k < 0,\ \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\pm\infty$ のとき， $$\lim_{n\to\infty}k a_n=\mp\infty$$ ⑥　$c$ が定数，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\pm\infty$ のとき， $$\lim_{n\to\infty}\frac c{a_n}=0,\ \lim_{n\to\infty}(a_n+c)=\pm\infty$$

　これらは次のように簡略に書くと見易くなる：

発散する数列を含む極限(簡略表記)すべて複号同順
①　$(\pm\infty)\!+\!(\pm\infty)\!=\!(\pm\infty)$
②　$(\pm\infty)\!\times\!(\pm\infty)\!=\!\infty$
③　$(\pm\infty)\!\times\!(\mp\infty)\!=\!-\infty$
④　$k\! > \!0$ のとき，$k\!\times\!(\pm\infty)\!=\!\pm\infty$
⑤　$k\! < \!0$ のとき，$k\!\times\!(\pm\infty)\!=\!\mp\infty$
⑥　$c$ が定数のとき，$\dfrac c{\pm\infty}\!=\!0,$ $(\pm\infty)\!+\!c\!=\!(\pm\infty)$

注意

　簡略表記でいうところの $\dfrac\infty\infty$ や $\dfrac 00$，また $\infty\times 0,\ \infty -\infty$ などは不定形の極限といわれ，収束するか発散するかは個々の数列による．
（$\dfrac \infty\infty=1$ や $\infty-\infty=0$ には必ずしもならない．）

例1

　数列 $\left\{\dfrac{n-1}{2n+1}\right\}$ の極限を考える．

　$\displaystyle\lim_{n\to\infty}(n-1)=\infty$，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}(2n+1)=\infty$ となるから，これは $\dfrac\infty\infty$ の不定形である．この数列の極限は，$n\to\infty$ とする前に，分母子を $n$ で割るという前処理を行う：

$$\dfrac{n-1}{2n+1}=\dfrac{1-\dfrac 1n}{2+\dfrac 1n}$$

　このような変形を行うと，

　　(分子)$=1-\dfrac1n\to 1\ \ (n\to\infty)$

　　(分母)$=2+\dfrac1n\to 2\ \ (n\to\infty)$

となって，分子・分母ともに収束する数列となったから不定形が解消された．この状態にしてから $n\to\infty$ の極限操作を行うと，

　$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\dfrac{n-1}{2n+1}=\lim_{n\to\infty}\dfrac{1-\dfrac 1n}{2+\dfrac 1n}=\dfrac 12}$

という具合に極限がわかる．

例2

　数列 $\left\{\sqrt{n^2+n}-n\right\}$ の極限を考える．このまま $n\to\infty$ を考えてしまうと $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt{n^2+n}\to\infty$，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}n\to\infty$ となるから，これは $\infty-\infty$ の不定形である．この数列の極限は，$n\to\infty$ とする前に，$\sqrt{n^2+n}-n$ を $\dfrac{\sqrt{n^2+n}-n}1$ という分数だと思って，分子の有理化を行う．

$$\begin{align*} \sqrt{n^2+n}-n&=\dfrac{\sqrt{n^2+n}-n}1\\[5pt] &=\frac{(\sqrt{n^2+n}-n)(\sqrt{n^2+n}+n)}{\sqrt{n^2+n}+n}\\[5pt] &=\frac{(n^2+n)-n^2}{\sqrt{n^2+n}+n}\\[5pt] &=\frac n{\sqrt{n^2+n}+n} \end{align*}$$

　この状態でもまだ $\dfrac\infty\infty$ の不定形であるから，更に分母子を $n$ で割って

$$\frac n{\sqrt{n^2+n}+n}=\frac 1{\sqrt{1+\dfrac1n}+1}$$

　これでようやく不定形が解消された．従って極限は

$$\lim_{n\to\infty}\frac 1{\sqrt{1+\dfrac1n}+1}=\dfrac12$$

1.4 数列の極限の大小関係

例題 　$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\frac {\sin n\pi}n}$ を求めよ．

こたえ

　$-1\leqq \sin n\pi\leqq 1$ であるから

$$-\dfrac 1n\leqq \dfrac{\sin n\pi}n\leqq \dfrac 1n.$$

　ここで，$\displaystyle\lim_{n\to\infty}$$\left(-\dfrac 1n\right)=0$，かつ $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\frac 1n=0}$ により， $$\lim_{n\to\infty}\frac{\sin n\pi}n=0.$$

注意

　①に関連して，「$a_n<b_n\ (n=1,\ 2,\ \cdots)$ ならば $\alpha<\beta$ 」は正しくない．
反例
　$a_n=\dfrac 1n,\ b_n=\dfrac 2n$ とすると， $$a_n < b_n\ \ \ (n=1,\ 2,\ \cdots).$$ 　しかるに $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}a_n\!=\!0,\ \lim_{n\to\infty}b_n\!=\!0}$ となって，$\alpha=\beta$．

　従って，「$a_n<b_n\ (n=1,\ 2,\ \cdots)$ ならば $\alpha\leqq\beta$ 」が正しい命題となる．

　次の定理も重要：

【追い出しの原理】
　$a_n\leqq b_n\ (n=1,\ 2,\ \cdots)$，かつ $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}a_n=\infty}$ ならば， $$\lim_{n\to\infty}b_n=\infty$$

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