9. 定積分と不等式(ノート)
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数学Ⅲ　第3章　積分法

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9．定積分と不等式

9.1　定積分と不等式

定理 　閉区間 $[a,b]$ で連続な関数 $f(x)$ が，この区間で常に $f(x)\geqq0$ ならば， $$\int_a^b\!\!f(x)\,dx\geqq0$$ が成り立つ．等号成立は，$[a,b]$ で常に $f(x)=0$ のとき．

　この定理は，図の緑色部分の面積が0以上であるという事実からも理解しやすい．

証明

　$\displaystyle{F(x)=\int_a^x\!\!f(t)dt}$ とする．$F(b)\geqq 0$ を示せばよい． $$F'(x)=\frac d{dx}\int_a^x\!\!f(t)dt=f(x)\geqq 0\ \ （\because \mbox{仮定})$$ であるから，$F(x)$ は $a\leqq x\leqq b$ で単調に増加する関数である．よって， $$F(x)\geqq F(a)\left(=\int_a^a\!\!f(t)dt\right)=0$$ により， $F(x)$ は $a\leqq x\leqq b$ で常に非負となり，従って $F(b)\geqq 0$． また，等号が成立するとき，すなわち $\displaystyle{\int_a^b\!f(x)dx=F(b)=0}$ が成り立つときは，$F(x)$ の単調増加性により $$0=F(a)\leqq F(x)\leqq F(b)=0$$ となるから，$F(x)$ は $a\leqq x\leqq b$ で常に0． 故に $f(x)=F'(x)=(0)’=0$．

■

系 　閉区間 $[a,b]$ で連続な関数 $f(x)$ が，この区間で常に $f(x)\geqq 0$，かつ $\displaystyle{\int_a^b\!f(x)dx= 0}$ ならば，この区間で常に $f(x)=0$．

証明

　上の定理の証明における等号成立時の議論により明らか．

■

　上の定理から，直ちに次が成り立つ：

定理 　閉区間 $[a,b]$ で連続な関数 $f(x)$ が，この区間で常に $f(x)\geqq g(x)$ ならば， $$\int_a^b\!\!f(x)\,dx\geqq\int_a^b\!\!g(x)\,dx$$ が成り立つ．等号成立は，$[a,b]$ で常に $f(x)=g(x)$ のとき．

証明

　$F(x)=f(x)-g(x)$ とおくと，区間 $[a,b]$ で常に $F(x)\geqq0$．従って， $$\int_a^b\!\!F(x)\,dx=\int_a^b\!\!\{f(x)-g(x)\}dx\geqq0$$ $$\therefore \int_a^b\!\!f(x)\,dx-\int_a^b\!\!g(x)\,dx\geqq0$$ $$\therefore \int_a^b\!\!f(x)\,dx\geqq\int_a^b\!\!g(x)\,dx$$

■

例題1　次を示せ． $$\frac\pi4 < \int_0^1\!\!\frac{dx}{1+x^3} < 1$$

こたえ

　解答例を表示する

　閉区間 $[0,1]$ において，常に $$1 \leqq 1+x^3\leqq 1+x^2$$ であるから， $$\frac1{1+x^2}\leqq\frac1{1+x^3}\leqq 1$$ 　この不等式の等号は常に成り立っている訳ではないから，各辺を0から1まで積分すると $$\int_0^1\!\!\frac{dx}{1+x^2} < \int_0^1\!\!\frac{dx}{1+x^3} < \int_0^1\!\!dx$$ 　この右辺の積分は1である．またこの左辺の積分は $x=\tan\theta$ とおくと， $$dx=\dfrac{d\theta}{cos^2\theta},\ \ \begin{array}{c|c} x&0\to 1\\\hline \theta&0\to\frac\pi4 \end{array}$$ となるから， $$\begin{align*} \int_0^1\!\!\frac{dx}{1+x^2}&=\int_0^{\frac\pi4}\frac1{1+\tan^2\theta}\cdot\frac1{\cos^2\theta}d\theta\\[5pt] &=\int_0^{\frac\pi4}d\theta=\frac\pi4 \end{align*}$$ $$\therefore \frac\pi4 <\int_0^1\!\!\frac{dx}{1+x^3} < 1$$

■

例題2　$n$ を2以上の自然数とするとき，次を示せ． $$1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n < 1+\log n$$

こたえ

　解答例を表示する

　関数 $\dfrac1x$ は $x>0$ で単調に減少するから，任意の自然数 $k$ について，$k\leqq x\leqq k+1$ のとき，

$$\frac1{k+1}\leqq \frac1x$$

が成り立つ．この不等式の等号は常に成り立つ訳ではないから，両辺を $k$ から $k+1$ まで積分すると

$$\int_k^{k+1}\frac{dx}{k+1}< \int_k^{k+1}\frac{dx}x$$

$$\therefore \frac1{k+1}< \int_k^{k+1}\frac{dx}x$$

　この式の $k$ に1から $n-1$ まで代入して辺々加えると

$$\frac12\!+\!\frac13\!+\!\cdots\!+\frac1n<\int_1^2\!\!\frac{dx}x\!+\!\int_2^3\!\!\frac{dx}x\!+\!\cdots\!+\!\int_{n-1}^n\!\!\frac{dx}x$$

　この右辺は

$$\int_1^n\frac{dx}x=\Bigl[\log |x|\Bigr]_1^n=\log n$$

となるから結局上の式は

$$\frac12\!+\!\frac13\!+\!\cdots\frac1n<\log n$$

　この両辺に1を加えて

$$1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n < 1+\log n$$

■

別解

　解答例を表示する

　図の長方形の面積の合計より，赤色で囲まれた部分の面積の方が大きいから，

$$\begin{align*} 1+\dfrac12+\dfrac13+\cdots+\dfrac1n& < 1+\int_1^n\!\!\frac{dx}x\\ &=1+\Bigl[\log x\Bigr]_1^n\\ &=1+\log n \end{align*}$$

■

別解における注意

　$\dfrac1x$ は $x\to0$ で発散するため，次の不等式では積分が計算できない：
$$1+\dfrac12+\dfrac13+\cdots+\dfrac1n < \int_0^n\!\!\frac{dx}x$$

9.2　絶対値付きの積分不等式

　定積分において，被積分関数に絶対値が付いたままでは積分できない．例えば，次の例題を考えてみよう．

例題　次の定積分を求めよ． $$\int_0^3|x-1|dx$$

　この問題を

$$\int_0^3|x-1|dx=\left|\,\left[\dfrac{x^2}2-x\right]_0^3\,\right|=\dfrac32$$

と計算したらもちろん間違いである．正しくは $0\leqq x\leqq 1$ において，$x-1\leqq0$ であり，$1\leqq x\leqq3$ において $x-1\geqq0$ であるから

$$\begin{align*} \int_0^3|x-1|dx&=-\int_0^1(x-1)dx+\int_1^3(x-1)dx\\[5pt] &=-\left[\dfrac{x^2}2-x\right]_0^1+\left[\dfrac{x^2}2-x\right]_1^3\\[5pt] &=\dfrac12+2\\[5pt] &=\dfrac52 \end{align*}$$

といった具合に，関数の値が0以上となる区間と，0以下となる区間に分けて積分する必要がある．

　このように，被積分関数に絶対値が含まれる場合の定積分は注意を要するのである．

　さて，先の例では $\displaystyle\int_0^3|x-1|dx=\dfrac52$，$\displaystyle\left|\int_0^3(x-1)dx\right|=\dfrac32$ であったから

$$\int_0^3|x-1|dx\geqq \left|\int_0^3(x-1)dx\right|$$

という不等式が成り立つ．このような大小関係になる理由は，右辺における区間 $[0,\ 1]$ での定積分が $\displaystyle\int_0^1(x-1)dx=-\dfrac12$ と負になるためである．

　一般にも関数 $f(x)$ について，次の定理が成り立つ．

定理 $$\int_a^b\!\!|f(x)|dx\geqq \left|\int_a^b\!\!f(x)dx\right|$$

　これはグラフで考えるとわかりやすい．例えば下の図において，赤，青の面積をそれぞれ $S_1,\ S_2$ とすると，左辺は $S_1+S_2$ を表すのに対して，右辺は $x$ 軸の下側にある面積がマイナスされるため $|S_1-S_2|$ となり，全体としてこのような大小関係となるのである．

　また，この不等式の等号成立条件である次の定理も，難関大入試問題攻略のためにもぜひ使えるようになっておきたい．

定理 　区間 $[a,\ b\,]$ において，関数 $f(x)$ の値が0となるところを除いて定符号のとき， $$\int_a^b|\,f(x)\,|\,dx= \left|\,\int_a^b f(x)\,dx\,\right|$$

　この定理は，区間$[a,\ b]$ で常に非負の値をとる関数か，その逆で常に非正の値をとる関数について，絶対値をとってから積分した値と，積分をしたのちに絶対値をとった値は等しいというもので，定積分が面積を表すことを考えると両者が一致することはうなずける．

例題　次を示せ． $$\left|\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\!\!\frac{\sin x}{x^2}dx\right|< \frac 1\pi\left(\frac 1n-\frac 1{n+1}\right)\ \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$$

こたえ

　解答例を表示する

$$\begin{align*} \mbox{左辺}&\leqq\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\left|\frac{\sin x}{x^2}\right|dx\\ &<\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\!\!\frac{dx}{x^2}\\ &=\left[-\frac1x\right]_{n\pi}^{(n+1)\pi}\\ &=-\frac1{(n+1)\pi}+\frac1{n\pi}\\ &=\mbox{右辺} \end{align*}$$

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