4. 定積分とその性質(ノート)
スライドで学ぶ高校数学

高校数学[総目次]

数学Ⅲ　第3章　積分法

	スライド	ノート
1. 不定積分	[無料]
2. 置換積分法（不定積分）	[無料]
3. 部分積分法（不定積分）	[無料]
4. 定積分とその性質	[会員]
5. 置換積分法（定積分）	[会員]
6. 部分積分法（定積分）	[会員]
7. 定積分と微分法	[会員]
8. 定積分と和の極限	[会員]
9. 定積分と不等式	[会員]
10. 定積分の応用（面積）	[会員]
11. 定積分の応用（体積）	[会員]
12. 定積分の応用（回転体の体積）	[会員]
13. 曲線の長さ

4．定積分とその性質

4.1 定積分とは

　定積分については既に数学Ⅱで学習済みである．しかしここまでの学習で，積分できる関数のクラスは数学Ⅱまでの範囲とは比較にならないほど広がった．そこで改めて定積分とは何なのかという復習から始めたい．

定積分とは　閉区間 $[a,b]$ で連続な関数 $f(x)$ の不定積分(原始関数)を $F(x)$ とすれば， \[F(b)-F(a)\ \ \cdots\mbox{①}\] を「関数 $f(x)$ の $a$ から $b$ までの定積分」といい，①を \[\int_a^b\!f(x)\,dx\] で表す．

　定義の中に $f(x)$ の連続性があるが，これは関数の中にはその区間では積分できないものや，不定積分がそもそも計算できないものなど色々あって，そういう関数は今考えないことにするという意味で捉えてよい．閉区間 $[a,b]$ で連続な関数ならば，いつでも積分ができるのである．数学Ⅱの定積分の説明ではこのような記載はなかったが，それは数学Ⅱの定積分で相手にする関数が整式に限られていたためである．整式とは $2x+3$ や $x^2$ などのことを指すが，これらは実数全体で連続だから，もちろんその一部である閉区間 $[a, b]$ でも連続である．

補足1

①は $\Bigl[F(x)\Bigr]_a^b$ とも表す．即ち

補足2

　$F(x)+C\ (C$ は定数)もまた $f(x)$ の不定積分であるが， \[\begin{align*} \Bigl[F(x)+C\Bigr]_a^b&=\{F(b)+C\}-\{F(a)+C\}\\[5pt] &=F(b)-F(a) \end{align*}\] であるから定積分の値は変わらない．

補足3

　定数 $a,b$ に対して①は(定数)$-$(定数)だから，定積分は定数である．( $x$ の関数ではない．)

4.2　定積分の性質

\[\begin{align*} &\mbox{①}\ \int_a^b\!kf(x)\,dx=k\int_a^b\!f(x)\,dx\ \ (k\mbox{は定数})\\[5pt] &\mbox{②}\ \int_a^b\!\{f(x)\!+\!g(x)\}dx=\int_a^b\!f(x)\,dx\!+\!\int_a^b\!g(x)\,dx\\[5pt] &\mbox{③}\ \int_a^b\!f(x)\,dx=-\int_b^a\!f(x)\,dx\\[5pt] &\hspace{5mm}\left(\mbox{特に，}\int_a^a\!f(x)\,dx=0\right)\\[5pt] &\mbox{④}\ \int_a^b\!f(x)\,dx=\int_a^c\!f(x)\,dx+\int_c^bf(x)\,dx \end{align*}\]

証明

③\[\begin{align*} \mbox{左辺}&=F(b)-F(a)\\[5pt] &=-\{F(a)-F(b)\}\\[5pt] &=\mbox{右辺} \end{align*}\] 　また，③において $b$ も $a$ とおくと， \[\int_a^a\!\!f(x)\,dx=-\int_a^a\!\!f(x)\,dx\] \[\therefore \int_a^a\!\!f(x)\,dx=0\] 　(定義より $\displaystyle\int_a^a\!\!f(x)\,dx\!=\!F(a)\!-\!F(a)=0$ でもよい．)

④\[\begin{align*} \mbox{右辺}&=\{F(c)-F(a)\}+\{F(b)-F(c)\}\\[5pt] &=F(b)-F(a)\\[5pt] &=\mbox{左辺} \end{align*}\]

■

---

高校数学[総目次]

数学Ⅲ　第3章　積分法

	スライド	ノート
1. 不定積分	[無料]
2. 置換積分法（不定積分）	[無料]
3. 部分積分法（不定積分）	[無料]
4. 定積分とその性質	[会員]
5. 置換積分法（定積分）	[会員]
6. 部分積分法（定積分）	[会員]
7. 定積分と微分法	[会員]
8. 定積分と和の極限	[会員]
9. 定積分と不等式	[会員]
10. 定積分の応用（面積）	[会員]
11. 定積分の応用（体積）	[会員]
12. 定積分の応用（回転体の体積）	[会員]
13. 曲線の長さ