3. 部分積分法(不定積分)(ノート)
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数学Ⅲ　第3章　積分法

3．部分積分法(不定積分)

　積の導関数の公式により， $\left\{f(x)g(x)\right\}’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$ $\therefore f(x)g'(x)=\left\{f(x)g(x)\right\}’-f'(x)g(x)$ 　この両辺を積分して次を得る：

$\underline{\int\!f(x)g'(x)dx}_{(*)}=f(x)g(x)-\underline{\int\!f'(x)g(x)dx}_{(**)}$

① 積の形の関数について，微分には一般的な公式があるのに対して，不定積分にはそれがない．部分積分法はその1つの解決法である．
② $(*)$ より $(**)$ の方が計算しやすい場合に用いる．

$\begin{align*} \int\!x\cos x\,dx&=\int\!x(\sin x)’dx\\ &=x\sin x-\int\!1\cdot\sin x\,dx\\ &=x\sin x+\cos x+C \end{align*}$

$\begin{align*} \int\!\log x\,dx&=\int\!(x)’\log x\,dx\\ &=x\log x-\int\!dx\\ &=x\log x-x+C \end{align*}$

例2によって，重要な対数関数の不定積分が得られた：

$\int\!\log x\,dx=x\log x-x+C$

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