11．定積分の応用(体積)【演習問題】｜スライドで学ぶ高校数学

数学Ⅲ　第3章　積分法

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13. 曲線の長さ

演習問題

問題１【標準】
　 $0\leqq t\leqq1$ とする．空間において，平面 $x=t$ 上にあり，連立不等式 $\left\{\begin{array}{l}y^2\leqq 1-t^2\\ z\geqq0\\ z\leqq 2t\\ z\leqq-2t+2\end{array}\right.$ を満たす点 $(t,\ y,\ z)$ 全体からなる図形の面積を $S(t)$ とする．また， $t$ が0から1まで動くとき，この図形が通過してできる立体の体積を $V$ とする．
(1)　 $S(t)$ を求めよ．
(2)　 $V$ の値を求めよ．

(神戸大)

問題１【標準】

　 $0\leqq t\leqq1$ とする．空間において，平面 $x=t$ 上にあり，連立不等式 $\left\{\begin{array}{l}y^2\leqq 1-t^2\\ z\geqq0\\ z\leqq 2t\\ z\leqq-2t+2\end{array}\right.$ を満たす点 $(t,\ y,\ z)$ 全体からなる図形の面積を $S(t)$ とする．また， $t$ が0から1まで動くとき，この図形が通過してできる立体の体積を $V$ とする．
(1)　 $S(t)$ を求めよ．
(2)　 $V$ の値を求めよ．

(神戸大)

　非回転体の体積を求めるにはどの方向の切り口を考えるかの選択が難しい訳ですが，この問題では最初に(1)で断面積を求めさせているので，(2)は単なる積分の計算問題になり下がっています．

解答

(1)　

連立不等式が表す図形は長方形である．図のように横の長さは $2\sqrt{1-t^2}$ で，縦の長さは $0\leqq t\leqq\dfrac12$ と $\dfrac12\leqq t\leqq 1$ で場合分けが生じる．

1°　 $0\leqq t\leqq\dfrac12$ のとき

　縦の長さが $2t$ となるから

$S(t)=2t\times2\sqrt{1-t^2}=4t\sqrt{1-t^2}$

2°　 $\dfrac12\leqq t\leqq1$ のとき

　縦の長さが $-2t+2$ となるから

$S(t)=(-2t+2)\times2\sqrt{1-t^2}=4(1-t)\sqrt{1-t^2}$

　以上により

$S(t)=\left\{ \begin{array}{ll} 4t\sqrt{1-t^2}&\left(0\leqq t\leqq\dfrac12\right)\\[5pt] 4(1-t)\sqrt{1-t^2}&\left(\dfrac12\leqq t\leqq1\right) \end{array}\right.$

(2)　(1)の結果から

$\begin{align*} V&=\int_0^1S(t)\,dt\\[5pt] &=4\left(\underline{\int_0^{\frac12}t\sqrt{1-t^2}\,dt}_{\mbox{①}}+\underline{\int_{\frac12}^1 (1-t)\sqrt{1-t^2}\,dt}_{\mbox{②}}\right) \end{align*}$

　ここで

① $=\left[-\dfrac13(1-t^2)^{\frac32}\right]_0^{\frac12}=-\dfrac13\left(\dfrac34\right)^{\frac32}+\dfrac13=\dfrac13-\dfrac{\sqrt3}8$

$\begin{align*} \mbox{②}&=\int_{\frac12}^1\sqrt{1-t^2}\,dt-\int_{\frac12}^1 t\sqrt{1-t^2}\,dt\\[5pt] &=\underline{\dfrac12\cdot 1^2\cdot\dfrac\pi3-\dfrac12\cdot\dfrac12\cdot\dfrac{\sqrt3}2}_\mbox{③}+\left[\dfrac13(1-t^2)^{\frac32}\right]_{\frac12}^1\\[5pt] &=\dfrac\pi6-\dfrac{\sqrt3}8-\dfrac13\left(\dfrac34\right)^{\frac32}\\[5pt] &=\dfrac\pi6-\dfrac{\sqrt3}4 \end{align*}$

　よって求める体積 $V$ は

V = 4 {(\frac{1}{3} - \frac{\sqrt{3}}{8}) + (\frac{π}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4})} = \frac{4}{3} - \frac{3 \sqrt{3}}{2} + \frac{2 π}{3}

$V=4\left\{\left(\dfrac13-\dfrac{\sqrt3}8\right)+\left(\dfrac\pi6-\dfrac{\sqrt3}4\right)\right\}=\dfrac43-\dfrac{3\sqrt3}2+\dfrac{2\pi}3$

※②の第1項の定積分 $\displaystyle\int_{\frac12}^1\sqrt{1-t^2}\,dt$ は，下図の斜線部分の面積と等しいから，③のように半径1，中心角 $\dfrac\pi3$ の扇形から直角三角形の面積を引くことで求めた．(詳しくは 10．定積分の応用(面積) 参照)