2．メネラウスの定理(ノート)
スライドで学ぶ高校数学

高校数学[総目次]

数学A　第3章　図形の性質

第3章　図形の性質

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1．メネラウスの定理

　チェバの定理と非常に内容の似通った定理にメネラウスの定理というものがある．チェバの定理以上に適用範囲が広く，しばしば数学Bで学ぶベクトルではこのメネラウスの定理を使うのが最速の解法だという問題 まである．

　メネラウスの定理は，三角形と1本の直線によってできるいくつかの線分比についての関係を述べたものであるが，その直線が三角形の内部を通る場合と外部を通る場合の2つのタイプがあるが，一般的によく知られ，かつよく用いられているのは直線が三角形の内部を通るタイプである．

　メネラウスの定理が使える典型的な状況というのは，次のキツネのイラストのような図が現れたときであり，このキツネが出てきたら，「もしかしてメネラウスの定理が使えるのでは？」という直感が働くようにしておきたい．

「キツネが出てきたらメネラウス」

証明

1°　直線が△ABCの内部を通るとき

　点C を通り，$l$ に平行な直線と直線 AB との交点を D とすると， $$\rm BP:PC=BR:RD$$

$\therefore\dfrac{\rm BP}{\rm PC}=\dfrac{\rm BR}{\rm RD}\ \ \cdots$ ①

　同様にして， $$\rm CQ:QA=DR:RA$$

$\therefore\dfrac{\rm CQ}{\rm QA}=\dfrac{\rm DR}{\rm RA}\ \ \cdots$ ②

　よって，メネラウスの定理の左辺を，①，②によって書き換えると，次々と約分ができて， $$\begin{align*} &\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}\\[5pt] =\ &\underline{\frac{\rm BR}{\rm RD}}\cdot\underline{\frac{\rm DR}{\rm RA}}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}\\[-5pt] &\hspace{2mm}\mbox{①}\hspace{6mm}\mbox{②}\\[5pt] =\ &1 \end{align*}$$

2°　直線が△ABCの外部を通るとき

　直線が△ABCの内部を通る場合とは図が異なるだけで，式は異なるところが1つもない．

　点C を通り，$l$ に平行な直線と直線 AB との交点を D とすると， $$\rm BP:PC=BR:RD$$

$\therefore\dfrac{\rm BP}{\rm PC}=\dfrac{\rm BR}{\rm RD}\ \ \cdots$ ①

　同様にして， $$\rm CQ:QA=DR:RA$$

$\therefore\dfrac{\rm CQ}{\rm QA}=\dfrac{\rm DR}{\rm RA}\ \ \cdots$ ②

　よって，メネラウスの定理の左辺を，①，②によって書き換えると，次々と約分ができて， $$\begin{align*} &\frac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\frac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}\\[5pt] =\ &\underline{\frac{\rm BR}{\rm RD}}\cdot\underline{\frac{\rm DR}{\rm RA}}\cdot\frac{\rm AR}{\rm RB}\\[-5pt] &\hspace{2mm}\mbox{①}\hspace{6mm}\mbox{②}\\[5pt] =\ &1 \end{align*}$$

■

補足

• 【覚え方】分子→分母→分子→分母→ … という順でアルファベットがしりとり式に続いていく．

• 【書き方】頂点→分点→頂点→分点→… の順でアルファベットを書く．

• 【融通性】メネラウスの定理の左辺は3つの分数の積になっている．積は計算の順序が自由にできるから，掛ける順番をローテーションして $$\begin{align*}&\dfrac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\dfrac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\dfrac{\rm AR}{\rm RB}\\[5pt]=&\dfrac{\rm AR}{\rm RB}\cdot\dfrac{\rm BP}{\rm PC}\cdot\dfrac{\rm CQ}{\rm QA}\\[5pt]=&\dfrac{\rm CQ}{\rm QA}\cdot\dfrac{\rm AR}{\rm RB}\cdot\dfrac{\rm BP}{\rm PC}\end{align*}$$ などが成り立つ．つまり，スタート地点は頂点Bである必要はなく，三角形の3頂点のどれでもよいのである．

問題　△ABCにおいて，辺ABを $1:2$ に内分する点をD，辺BCを $4:1$ に外分する点をEとする．ACとDEの交点をPとするとき，$\rm{AP:PC}$ を求めよ．

答えは 演習問題 参照．

定理の内容が理解出来たら，次は演習問題 で理解の確認しましょう．

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