三角形の五心 – 内心(ノート)

高校数学[総目次]

数学A　第3章　図形の性質

第3章　図形の性質

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1．内心

基本事項の確認

　角の二等分線 $l$ は，2直線 $m, n$ から等しい距離にある点の集合である．

証明の方針

　2つの内角の二等分線の交点をとる
　　　↓
　その交点から各辺までの距離が等しい．
　　　↓
　その交点が，残りの角の二等分線上にもある．

証明

　△ABCの$\angle{\rm B}$と$\angle{\rm C}$ の二等分線の交点を $\rm I$ とし，$\rm I$ から辺BC，CA，ABに下ろした垂線の足をそれぞれD，E，Fとする．

　上の基本事項により， $${\rm ID}={\rm IE}\ \mbox{かつ}\ {\rm ID}={\rm IF}$$ 　よって， $${\rm IE}={\rm IF}$$ 　このことは，$\rm I$ が$\angle{\rm A}$の二等分線上にもあることを意味する．
　故に，3本の角の二等分線は1点で交わる．

■

補足

　この定理の証明過程により，どんな三角形にも3辺に接する円がただ1つ存在する．その円を三角形の内接円といい，内接円の中心を内心という．

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