三角形の五心 – 重心(ノート)

高校数学[総目次]

数学A　第3章　図形の性質

第3章　図形の性質

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　三角形には五心(ごしん)と呼ばれるものが存在する．重心，外心，垂心，内心，傍心の5つである．これらはそれぞれある点を指しており，どんな三角形にもこの五心と呼ばれる5つの点がすべて存在する．まずは重心から見ていくとしよう．

1．中線とは

　重心とは何かを述べるには，三角形の中線と呼ばれる線分を導入しておかねばならない．

　三角形の頂点と，その頂点に対応する辺の中点とを結んだ線分を中線(ちゅうせん)という．三角形には3本の中線がある．

2．重心

　2本の直線は平行でなければ必ず1点で交わる．ところがここにもう1本追加して3本の直線を考えると，必ずしも1点で交わるとは限らない．

　ところが三角形においてはその形状にかかわらず，いつでも例外なく3本の中線が1点で交わるというのである．

補足

三角形の重心とは

　3中線の交点を，三角形の重心という．

証明

　△ABCにおいて，辺BC，CA，ABの中点をそれぞれL，M，Nとし，
　　　中線ALとBMの交点をG
　　　中線ALとCNの交点をG$\,’$
とする．

まずGについて

　M，Lはそれぞれ辺CA，CBの中点だから，△CABにおいて中点連結定理により，

$${\rm ML}//{\rm AB},\ {\rm ML}=\frac12{\rm AB}$$

　よって，

${\rm AG}:{\rm GL}={\rm AB}:{\rm ML}=2:1\ \ \cdots$ ①

次にG$\,’$ について

　N，Lはそれぞれ辺BA，BCの中点だから，△BACにおいて中点連結定理により，

$${\rm NL}//{\rm AC},\ {\rm NL}=\frac12{\rm AC}$$

　よって，

${\rm AG\,’}:{\rm G\,’L}={\rm AC}:{\rm NL}=2:1\ \ \cdots$ ②

　①，②より，${\rm AG}:{\rm GL}={\rm AG\,’}:{\rm G\,’L}$ であり，GとG$\,’$ はともに中線AL上にあるからこれら2点は同じ点である．よって3つの中線は1点で交わり，

$\boldsymbol{{\rm AG}:{\rm GL} =2:1}$

　同様にして，BG:GM=2:1，CG:GN=2:1も示される．

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