高校数学[総目次]
数学A 第3章 図形の性質
第3章 図形の性質
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三角形には五心(ごしん)と呼ばれるものが存在する.重心,外心,垂心,内心,傍心の5つである.これらはそれぞれある点を指しており,どんな三角形にもこの五心と呼ばれる5つの点がすべて存在する.まずは重心から見ていくとしよう.
1.中線とは
重心とは何かを述べるには,三角形の中線と呼ばれる線分を導入しておかねばならない.

三角形の頂点と,その頂点に対応する辺の中点とを結んだ線分を中線(ちゅうせん)という.三角形には3本の中線がある.

2.重心
2本の直線は平行でなければ必ず1点で交わる.ところがここにもう1本追加して3本の直線を考えると,必ずしも1点で交わるとは限らない.

ところが三角形においてはその形状にかかわらず,いつでも例外なく3本の中線が1点で交わるというのである.
三角形の3本の中線は1点で交わり,その点は各中線を2:1に内分する.


3本の中線が1点で交わる
補足
三角形の重心とは
3中線の交点を,三角形の重心という.
証明の方針
- この証明に使う道具は,中点連結定理と平行線と線分の比の関係.
- 3本の中線から2本組を選びその交点をG,別の組の交点をG′ とする.GとG′ が一致することを示す.
↓どうやって?
中点連結定理を用いて,AG:GLとAG′:G′Lが共に2:1であることを示す.
証明
△ABCにおいて,辺BC,CA,ABの中点をそれぞれL,M,Nとし,
中線ALとBMの交点をG
中線ALとCNの交点をG′
とする.


まずGについて

M,Lはそれぞれ辺CA,CBの中点だから,△CABにおいて中点連結定理により,
ML//AB, ML=12ABよって,
AG:GL=AB:ML=2:1 ⋯ ①
次にG′ について

N,Lはそれぞれ辺BA,BCの中点だから,△BACにおいて中点連結定理により,
NL//AC, NL=12ACよって,
AG′:G′L=AC:NL=2:1 ⋯ ②
①,②より,AG:GL=AG′:G′L であり,GとG′ はともに中線AL上にあるからこれら2点は同じ点である.よって3つの中線は1点で交わり,
AG:GL=2:1
同様にして,BG:GM=2:1,CG:GN=2:1も示される.
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