高校数学[総目次]

数学A 第3章 図形の性質

第3章 図形の性質

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  重心      
  外心      
  垂心      
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  傍心      

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1. 円周角の定理     [会員]
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 三角形には五心(ごしん)と呼ばれるものが存在する.重心,外心,垂心,内心,傍心の5つである.これらはそれぞれある点を指しており,どんな三角形にもこの五心と呼ばれる5つの点がすべて存在する.まずは重心から見ていくとしよう.

1.中線とは

 重心とは何かを述べるには,三角形の中線と呼ばれる線分を導入しておかねばならない.

 三角形の頂点と,その頂点に対応する辺の中点とを結んだ線分を中線(ちゅうせん)という.三角形には3本の中線がある.

2.重心

 2本の直線は平行でなければ必ず1点で交わる.ところがここにもう1本追加して3本の直線を考えると,必ずしも1点で交わるとは限らない.

3本目(赤色)を追加すると,3直線が1点で交わるとは限らない.

 ところが三角形においてはその形状にかかわらず,いつでも例外なく3本の中線が1点で交わるというのである.

定理
 三角形の3本の中線は1点で交わり,その点は各中線を2:1に内分する.
アニメーション
3本の中線が1点で交わる

補足

 3中線の交点を,三角形の重心という.

証明の方針
  • この証明に使う道具は,中点連結定理平行線と線分の比の関係
  • 3本の中線から2本組を選びその交点をG,別の組の交点をG とする.GとG が一致することを示す.
     ↓どうやって?
    中点連結定理を用いて,AG:GLとAG:GLが共に2:1であることを示す.

証明

 △ABCにおいて,辺BC,CA,ABの中点をそれぞれL,M,Nとし,
   中線ALとBMの交点をG
   中線ALとCNの交点をG
とする.

ALとBMの交点がG
ALとCNの交点がG
まずGについて

 M,Lはそれぞれ辺CA,CBの中点だから,△CABにおいて中点連結定理により,

ML//AB, ML=12AB

 よって,

AG:GL=AB:ML=2:1  

次にG について

 N,Lはそれぞれ辺BA,BCの中点だから,△BACにおいて中点連結定理により,

NL//AC, NL=12AC

 よって,

AG:GL=AC:NL=2:1  

 ①,②より,AG:GL=AG:GL であり,GとG はともに中線AL上にあるからこれら2点は同じ点である.よって3つの中線は1点で交わり

 同様にして,BG:GM=2:1,CG:GN=2:1も示される.

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