高校数学[総目次]
数学A 第3章 図形の性質
第3章 図形の性質
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1.円と弦
[1] 円の中心Oから弦ABに引いた垂線は,その弦を2等分する.
[2] 円の中心Oは弦ABの垂直二等分線上にある.
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基本事項の確認
線分ABの垂直二等分線とは,2点A,Bから等しい距離にある点の集合である.
証明
中心Oから弦ABに垂線OMを下ろす.
[1] 円の中心Oから弦ABに引いた垂線は,その弦を2等分する.
△OAMと△OBMにおいて,仮定より
$\angle\rm OMA=\angle OMB=90^\circ\ \cdots$ ①
OAとOBは円の半径だから
$\rm OA=OB\ \cdots$ ②
また,
$\rm OM$ は共通 $\cdots$ ③
①~③より直角三角形の斜辺と他の1辺がそれぞれ等しいから △OAM≡△OBM.故に \[{\rm AM}={\rm BM}\]
[2] 円の中心Oは弦ABの垂直二等分線上にある.
上の基本事項の確認から,弦ABの両端から等しい距離にある点はすべて弦ABの垂直二等分線上にある.このことは中心Oも弦ABの垂直二等分線上にあることを意味する.
■
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2.外心
三角形の3辺の垂直二等分線は1点で交わる.
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証明の方針
2つの辺の垂直二等分線の交点をとる.
↓
この点が残った辺の垂直二等分線上にもあることを示す.
証明
辺ABとACの垂直二等分線の交点をOとする.
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上の基本事項の確認により \[\left\{\begin{array}{l} {\rm OA}={\rm OB}\\[5pt] {\rm OA}={\rm OC} \end{array}\right.\] であるから, \[{\rm OB}={\rm OC}\] が成り立つ:
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よって,上の基本事項の確認により,点Oは辺BCの垂直二等分線上にもあるから,3本の垂直二等分線は1点Oで交わることが示された.
■
補足
定理の証明過程から,どんな三角形にも3つの頂点を通る円がただ1つ存在することがわかる.何故なら2本の辺の垂直二等分線は平行でないため,交点が必ず存在するからである.3頂点を通る円をその三角形の外接円といい,外接円の中心を外心という.
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どんな三角形にも必ず外接円は存在する.
3.外心・外接円の作図
三角形の3本の辺のうちの2本を選んで,それぞれの垂直二等分線を描く.その交点が外心.外心を中心として各頂点を通る円を描けば,外接円となる.
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外心と外接円の作図法
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