円周角の定理の逆(ノート)

高校数学[総目次]

数学A　第3章　図形の性質

第3章　図形の性質

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1．円の内部・外部

　ある点Pと，△ABCの外接円Cがあるとする．点Pと円Cの位置関係は，

1° 円の内部　2° 円の外部　3° 円周上

のいずれかであってこれ以外にない．この3つのうちのどれであるかは角の大小関係によって判定できる．

証明

まず「$\Longrightarrow$」を示す．

[1]　点Pが円の内部 $\Longrightarrow\angle{\rm ACB}<\angle {\rm APB}$ を示す

　図のように半直線APと円との交点をQとする．△BPQの内角と外角の関係により $$\begin{align*} \angle{\rm APB}&=\angle {\rm PQB}+\angle {\rm QBP}\\[5pt] &>\angle {\rm PQB}\\[5pt] &=\angle {\rm AQB}\\[5pt] &=\angle {\rm ACB}\ \ (\because \mbox{円周角の定理}) \end{align*}$$ $$\therefore \angle{\rm ACB} < \angle {\rm APB}$$

[2]　点Pが円の外部 $\Longrightarrow\angle{\rm ACB}>\angle {\rm APB}$ を示す

1°　半直線APまたはBPが円と交わるとき

　図のようにAPと円との交点をQとする．△BPQの内角と外角の関係により $$\begin{align*} \angle{\rm AQB}&=\angle {\rm QPB}+\angle {\rm PBQ}\\[5pt] &>\angle {\rm QPB}\\[5pt] &=\angle {\rm APB}\\[5pt] \end{align*}$$ $$\therefore \angle{\rm AQB}>\angle{\rm APB}$$ 　円周角の定理により$\angle{\rm AQB}=\angle{\rm ACB}$であるから $$\angle{\rm ACB}>\angle{\rm APB}$$

2°　半直線APもBPも円と交わらないとき

　図のように半直線ACとBPの交点をQとすると，三角形の内角と外角の関係により $$\angle{\rm APB} < \angle{\rm AQB} < \angle{\rm ACB}$$ $$\therefore\angle{\rm ACB}>\angle{\rm APB}$$ となる．

　よって「$\Longrightarrow$」が示された．

次に「$\Longleftarrow$」を示す．

[1]　点Pが円の内部 $\Longleftarrow\angle{\rm ACB}<\angle {\rm APB}$ を示す

　点Pは円の内部にあるか，外部にあるか，円周上にあるかのいずれかである．

　$\angle{\rm ACB} < \angle {\rm APB}$のとき，点Pが円の外部にあるとすれば，先に示した「$\Rightarrow$」により$\angle{\rm ACB}>\angle {\rm APB}$となるから矛盾．

　また，点Pが円周上にあるとすれば，円周角の定理により$\angle{\rm ACB}=\angle {\rm APB}$となるから矛盾．
　従って点Pは円の内部にある．

[2]　点Pが円の外部 $\Longleftarrow\angle{\rm ACB}>\angle {\rm APB}$ を示す

　点Pは円の内部にあるか，外部にあるか，円周上にあるかのいずれかである．

　$\angle{\rm ACB}>\angle {\rm APB}$のとき，点Pが円の内部にあるとすれば，先に示した「$\Rightarrow$」により$\angle{\rm ACB} < \angle {\rm APB}$となるから矛盾．

　また，点Pが円周上にあるとすれば，円周角の定理により$\angle{\rm ACB}=\angle {\rm APB}$となるから矛盾．

　従って点Pは円の内部にある．

　よって「$\Longleftarrow$」が示された．

　以上により「$\iff$」が示された．

■

2．円周角の定理の逆

　先に議論した円の内部・外部の関係から，次の「円周角の定理の逆」が成り立つ：

証明

　点Pは△ABCの外接円の周上にあるか，そうでないかのいずれかであるが，上の定理により，

$\angle{\rm ACB}\!\neq\!\angle{\rm APB}\iff$ 点Pは△ABCの外接円の周上にない

であるから，∠ACB$=$∠APBならば，点Pは△ABCの外接円の周上にある．よって4点A，B，C，Pは同一円周上にある．

■

補足

　線分ABを直径とする円周上に点Cをとって三角形ABCを作ると，$\angle{\rm C}=90^\circ$ であったから(円周角の定理)，$\angle{\rm APB}=90^\circ$ ならば，Pも同じ円上の点となる．すなわち円周角の定理の逆の特別な場合として次が成り立つ：

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