高校数学[総目次]
数学A 第3章 図形の性質
第3章 図形の性質
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1．円に内接する四角形
定理
四角形が円に内接する
$\iff$ 対角の和が180° $(a\!+\!c\!=\!180^\circ)$
$\iff$ 内角が，その対角の外角に等しい ($a\!=\!c’$)
$\iff$ 対角の和が180° $(a\!+\!c\!=\!180^\circ)$
$\iff$ 内角が，その対角の外角に等しい ($a\!=\!c’$)
証明の方針
- 「四角形が円に内接する $\Rightarrow$ 対角の和が180°」は，円周角の定理 を利用．
- 「四角形が円に内接する $\Leftarrow$ 対角の和が180°」は，△ABDの外接円上点${\rm C}\,’$ をとり，円周角の定理の逆 を利用．
- 「対角の和が180°$\iff$内角が，その対角の外角に等しい」は明らか．
証明
「四角形が円に内接する $\Rightarrow$ 対角の和が180°」を示す．
円周角の定理 により図のようになるから，中心角に注目すると， \[2a+2c=360^\circ\] \[\therefore a+c=180^\circ\]
「四角形が円に内接する $\Leftarrow$ 対角の和が180°」を示す．
$\angle{\rm A}+\angle{\rm C}=180^\circ\ \cdots$① であるような四角形ABCDを考える：
△ABDの外接円Oにおいて，下図のように弧BD上に点C $’$ をとる．
四角形AB${\rm C}\,’$Dは円に内接するから，先に示した事柄により，
\[\angle {\rm A}+\angle{\rm C}\,’=180^\circ\ \ \cdots\mbox{②}\]
である．
①，②より，$\angle{\rm C}=\angle{\rm C}\,’$．
2点C，C$\,’$ が直線BDについて同じ側にあるから，円周角の定理の逆 により4点B，$\rm{C}\,’$，C，Dは同一円周上，即ち円O上にある．
故に四角形ABCDは円Oに内接するから4点A，B，C，Dは同一円周上にある．
残るは「対角の和が180°$\iff$内角が，その対角の外角に等しい」の証明であるが，これは明らか．
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