3．円の方程式【演習問題】｜スライドで学ぶ高校数学

高校数学[総目次]

数学Ⅱ　第3章　図形と方程式

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1. 座標平面上の点	[会員]
2. 直線の方程式	[会員]
3. 円の方程式	[会員]		[会員]
4. 円と直線	[会員]		[会員]
5. 軌跡と方程式	[会員]		[会員]
6. 不等式と領域	[会員]

演習問題

解答

(1)　$ax^2+x-b=x$ より $x^2=\dfrac ba$．放物線と直線が異なる2つの交点をもつから $\dfrac ba>0$ が必要で，このとき $x=\pm\sqrt{\dfrac ba}$．従って円の中心は原点であり，半径は $\sqrt{\dfrac{2b}a}$ である．よって求める円の方程式は

$$x^2+y^2=\dfrac{2b}a$$

(2)　$y=ax^2+x-b$ を $x^2+y^2=\dfrac{2b}a$ に代入して $y$ を消去すると

$$x^2+(ax^2+x-b)^2=\dfrac{2b}a$$

　右辺の分母を払って整理すると

$$a^2x^4+2ax^3+(2-2ab)x^2-2bx+b^2-\dfrac{2b}a=0$$

　いかにも手ごわい方程式に見えますが，放物線 $C$ と直線 $y=x$ の交点の $x$ 座標である $x=\pm\sqrt{\dfrac ba}$ はこの方程式の解でもありますから，この方程式の左辺は $x=\pm\sqrt{\dfrac ba}$ を導く元となった $x^2=\dfrac ba$，即ち $ax^2-b=0$ の左辺を因数にもちます．ポイント①

　(1)よりこの式の左辺は $ax^2-b$ を因数にもつから，実際に割って商を求めて因数分解すると

$$(ax^2-b)\left(\underline{ax^2+2x+\dfrac{2-ab}a}_{\mbox{①}}\right)=0\ \ \cdots(*)$$

　題意はこの4次方程式が異なる4つの実数解をもつことと同値であるから，方程式①$=0$ の判別式を $D$ とすると $D>0$ が必要で，

$$D/4=1-(2-ab)>0$$

$$\therefore ab>1$$

ここからは方程式①$=0$ の解が $\pm\sqrt{\dfrac ba}$ と重なっていないかどうかをチェックします．このチェック方法は定石の1つとしてマスターしておきましょう．ポイント②

　ここで，方程式①$=0$ が $\sqrt{\dfrac ba}$ 又は $-\sqrt{\dfrac ba}$ を解にもつとすれば，

$$a\cdot\frac ba\pm2\sqrt{\dfrac ba}+\dfrac{2-ab}a=0$$

$$b\pm2\sqrt{\dfrac ba}+\dfrac2a-b=0$$

$$\therefore\ \ \sqrt{\dfrac ba}=\pm\dfrac 1a$$

　両辺を2乗して　$ab=1$

　故に， $ab>1$ であれば，4次方程式 $(*)$ は異なる4つの実数解をもつから，これが求める条件である．