3. 円の方程式(ノート)
スライドで学ぶ高校数学

高校数学[総目次]

数学Ⅱ　第3章　図形と方程式

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1. 座標平面上の点	[会員]
2. 直線の方程式	[会員]
3. 円の方程式	[会員]		[会員]
4. 円と直線	[会員]		[会員]
5. 軌跡と方程式	[会員]		[会員]
6. 不等式と領域	[会員]

3.1　円の方程式

円とは？

　定点から等しい距離にある点の集合

　定点(円の中心)を${\rm C}(a,b)$，等しい距離(半径)を $r$ とし，円上の点を${\rm P}(x,y)$ とすると， $${\rm CP}=r\iff {\rm CP}^2=r^2$$ であるから， $$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$ が成り立つ．

円の方程式　中心 $(a,b)$，半径 $r$ の円の方程式は $$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$ 　特に中心が原点のとき， $$x^2+y^2=r^2$$

例　中心$(2,-1)$，半径5の円の方程式は， $$(x-2)^2+(y+1)^2=25$$

3.2　円の方程式の一般形

　円の方程式 $$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$ を展開して整理すると， $$x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2-r^2=0$$ 　この式で，$-2a$，$-2b$，$a^2+b^2-r^2$ は定数であるから，一般に円の方程式は次の形にすることができる：

円の方程式の一般形 $$x^2+y^2+lx+my+n=0$$

この方程式の特徴

　・$x^2$ と $y^2$ の係数が等しい．
　・$xy$ の項がない．

注意

　上の式は $$\left(x\!+\!\frac l2\right)^2\!+\!\left(y\!+\!\frac m2\right)^2\!=\!\frac{l^2\!+\!m^2\!-\!4n}4$$ と変形できるから，右辺の分子について，

$l^2+m^2-4n>0$

でなければ円を表さない．

例題　$x^2+y^2-6x+4y-23=0$ はどんな円を表すか．

$$\begin{align*} (x^2-6x)+(y^2+4y)&=23\\[5pt] (x-3)^2+(y+2)^2&=23+(-3)^2+2^2\\[5pt] \therefore (x-3)^2+(y+2)^2&=6^2 \end{align*}$$ 　よって，点$\boldsymbol{(3,-2)}$ を中心とする半径6の円

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